极限中0除以常数_数学 | 灵魂拷问：常数e到底是个啥玩意儿啊？

Vita君在做某C语言算法题的时候遇到这样的问题：怎样计算一个整数到底有多少位？

如果利用程序算法的话，他知道可以利用连续除以10来做，比如：

#include 

但如果用数学运算来表示呢？我跟他说可以用对数，对数就是指数的逆运算，假设我们要求的整数的位数，则有：

说到对数，我跟他说除了这个以10为底的标准对数之外，还有一个特别常用的对数叫做自然对数，自然对数的底是。

那么他的问题来了，这个到底是个什么玩意儿呢？他以前有见过欧拉公式，就是这个：

所以对于他也不是第一次听说了，但是他不知道到底是怎么一回事，好的，那我们就来聊一聊呗。

首先我问他你知不知道复利？

比如说，我手上有元钱，这些钱叫做本金，如果年利率是，那么一年之后，我的钱应该变成了元。

第二年，我用这元作为本金，如果利率不变，那么第二年之后，我的钱应该变成了元，以此类推，这就是复利，我们也叫利滚利。

那么利滚利现在是按年滚的，我如果按月滚，是不是就能拿到更多的钱呢？

由于一年的利率是，那么平均到一个月的利率就是，按照上面的方法计算复利，一年之后，我的钱就变成了元。

同样地，如果按天滚呢？一年之后，我的钱就变成了元。

我们可以对比一下这三种滚法，它们最终的实际利率到底相差多少。

我们可以设年利率为 5%，也就是，那么按年算，一年后实际利率为：

按月滚动复利的话，一年后实际利率为：

按天滚动复利的话，一年后实际利率为：

这里很容易就可以看出，复利滚动的周期越短，一年之后我能拿到的钱就越多，那我还可以按小时、分钟，甚至按秒滚……

假设一年内我们的复利滚动次数为，那么一年后的实际利率就是。按照我们之前的计算，越大，复利滚动周期越短，我能拿到的钱就越多。

那么现在问题来了，如果这个越来越大越来越大，直到无穷大了，我能拿到的钱最多会是多少呢？我们管这个叫连续复利，这相当于一个求极限的问题，也就是求：

为了计算方便，我们把常数换出来，设，则原式变为。

由于是一个常数，我们计算极限可以不考虑它，而且当接近无穷大时，也接近无穷大，于是我们的问题就变成了求：

这个问题中，是一个次二项式，我们回想一下二项式是如何展开的吧，比如当时：

当时：

我们发现，在二项展开式的每一项中，的指数从到0递减，而的指数从0到递增，而系数则符合杨辉三角的排列：

杨辉三角中的数，其实是排列组合中的组合数，例如第3行中的1、2、1，分别对应、、，我们回忆一下组合数的公式：

有了这些知识，我们就可以对二项式进行展开，这个二项式里，第一项是1，展开起来就容易多了。公式比较长，别忘了左滑一下才能看到后面的：

还好Vita君对于极限有一点点了解，我们试试看吧。

首先，常数项(比如1)的极限就是它自己；其次，最后一项，当接近无穷大时，它的极限为0，我们就可以直接把它给砍掉了。

对于中间的项，比如，这里面分子和分母中最高都含有，而分子中的系数为1，分子中的系数为，于是整个这一项的极限就是。

以此类推我们就可以得到：

这个数是啥呢？当然就是传说中的啦！

所以我们发现了啥？就代表连续复利下的最大增长率。

回忆一下我们之前的公式，既然里面的，那么连续复利下一年的实际利率就可以写成，而如果存年呢？那就把利率乘以相应的年数，也就是啦。

说完这个，Vita君的下一个问题是：欧拉公式是怎么推导出来的呢？

好吧，我跟他说要理解这个你需要先学一下三角函数，于是他从图书馆借了这本书看：

你慢慢看先，等你看明白了我们再讲欧拉公式吧……

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