时间序列的截尾和拖尾_干货分享 | 时间序列回归预测模型——ARIMA

同学们大家好，经过一个愉快但似乎有点格外漫长的寒假，大家是不是已经压抑不住心中的学习热情了呢？别急，小研从本周起即恢复每周推送，为依然还在持续的寒假带来满满的知识和干货，那么就让我们一起来看看本周的主角——ARIMA模型吧~

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简介

ARMA移动平均自回归模型(Autoregressive Moving Average Model,简记ARIMA)，是研究时间序列的重要方法，由自回归模型(AR模型)与移动平均模型(MA模型)为基础“混合”构成。常用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。ARIMA模型相对ARMA模型，仅多了差分操作。

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相关概念

(1)自回归模型(AR)

在时序分析中，描述时间序列｛Xt｝自身某一时刻和前p个时刻之间相互关系的模型称自回归模型，其形式为：

Xt = a1Xt-1 + a2Xt-2 + ... + apXt-p + εt

其中，aj 为参数，{εt} 为白噪声,它反映了所有其它随机因素的干扰，其中p为模型阶次，即Xt由前p个值决定。

(2)移动平均模型(MA)

它将时间序列{Xt}看成白噪声序列的线性组合，为什么误差能描述模型呢？假设某个值可通过之前N个值的平均值预测，稍作变化，即实际值可以通过前一值的预测值加误差得到．因此实际值可用多个误差值的累加来表示．其形式为：

Xt = μ + εt − θ1εt−1 − ⋯ − θqεt−q

(3)自回归移动平均模型(ARMA)

简单地说，AR模型是建立当前值和历史值之间的联系，MA模型是计算AR部分累积的误差。ARMA是两个维度的和。

(4)差分(ARIMA中的“I”)

差分是将数据进行移动之后与原数据进行比较得出的差异数据，这里的移动是指上移或者下移。简单的说，比如对某支股票的价格数据做一阶差分，就是将每日价格减去前一天的价格。差分之后，更容易去掉时间序列趋势，均值趋于０，有助于分析其它特征。

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模型应用步骤

(1)做时序图观察基本的趋势和周期。

(2)分析平稳性、正态性、周期性，并对数据进行转换。

ARMA要求被分析的数据呈正态分布、平稳、零均值。平稳性一般是指：均值为常数，方差为常数，且自协方差为常数。比如说上升的趋势中，均值就不是常数；如果震荡幅度越来越大，则方差不是常数。

如果仅是均值非０的情况，可减去均值；如果趋势可用线性拟合，可以减去拟合后的趋势；另外还可以用差分，或者季节性差分的方法使之平稳；对于非正态分布，可使用对数处理。

(3)做自相关和偏自相关图，确定模型阶次，包括差分阶数d，自回归阶数p，以及移动平均阶数q(这就是ARIMA模型的三个重要参数)。

做图可通过常见统计软件实现，具体方法在此不赘述。观察图片，如果自相关系数拖尾(按指数形式或正弦形式有规律地衰减)，偏自相关系数p阶截尾(在某个值后截止为0)，则使用p阶的AR模型。如果自相关系数q阶截尾，偏自相关系数拖尾，则使用q阶的MA模型。如果自相关函数和偏自相关函数均拖尾，则使用ARMA模型，由于AR和MA相互影响，阶数需要从小到大逐步尝试。

(4)模型检验。

第一，用模型对训练数据做拟合，用观察或者计算误差的方式，查看二者差异，差异越小越好。

第二，残差的自相关函数应该没有可识别的结构。

第三，AIC信息准则，是衡量统计模型拟合优良性的一种标准，AIC值越小越好，AIC值也可通过常见统计软件获得。

以上即是本期对ARIMA模型的简介，感兴趣的小伙伴可以在网络上查找更多的资料进一步了解，也可以找一些数据和案例进行实践操作，这样有利于透彻掌握这些看似复杂的数理模型。疫情当前，沉迷学习的同时希望大家注意身体健康，做好疾病防控工作，健康充实开心地过完这个寒假，我们下期见~

| 文字：王铷州

| 美编：王铷州

| 责编：都欣