今天开始ACM竞赛备战之旅

清华大学ACM集训队培训资料（内部使用）

一、C++基础

基本知识

       所有的C++程序都是有函数组成的， 函数又叫做子程序，且每个C++程序必须包含一个main函数，编译器（能够把源代码转换成目标代码的程序）把翻译后的目标代码和一些启动代码组合起来，生成可执行文件，main函数就是可执行文件的入口，所以，每个C++程序有且只有一个main函数。

       下面我们看一个最简单C++程序。(程序1.1)

程序1.1

int main(){return 0;}

在这个程序中，如果缺少任何一个字符，编译器就无法将其翻译成机器代码。

此外，C++是对大小写敏感的，这就意味着，如果我将mian()函数拼为Main(),哪么，编译器在编译这段程序的时候就会出错。

编辑源文件

       能够提共管理程序开发的所有步骤，包括编辑的程序成为集成开发环境（integrated development evironments, IDE）。在windows系统下，使用较为广泛的有Microsoft Visual C++、Dev-Cpp等，在UNIX系统下，有Vim、emacs、eclipes等。这些程序都能提供一个较好的开发平台，使我们能够方便的开发一个程序，接下我们所要了解的都是标准C++，所有源代码都在Dev-cpp下编写，能够编译通过。

       如果我们修改程序1.1中的main()函数的名称，将其改为Main()，那么，IDE就会给出错误信息，比如“  [Linker error] undefined reference to `WinMain@16'”，因为编译器没有找到main函数。

       接下来，我们来看一个经典的C++例子（程序1.2）

程序1.2

#include<iostream>

using namespace std;

int main(void)

{

    cout<<"Hello Wrold!"<<endl;

    return 0;

}

运行结果

Hello World!

程序说明

       第一行“#include<iostream>”，是一句预处理命令，相当于把“iostream”这个文件的所有内容复制到当前位置，替换该行。因为在输出操作中需要做很多事，C++编译器就提供了很多已经写好的函数(成为C++标准库)，我们做的只是拿来用就可以了。第二行的“using namespace std;”是使用标准命名空间，因为我们在程序中用到了在标准命名空间里的函数和对象。目前可以不了解其具体如何实现，在以后的程序设计中可以再对其进行了解。在明函数中“cout<<”Hello World!”<<endl;”是在屏幕上打印“Hello World!eHeH”，“endl”表明打印完这句话之后需要换行。如果我们替换引号内的内容，程序的输出就会相应改变。

       另外一个C++程序例子

// ourfunc.cpp -- defining your own function

#include <iostream>

void simon(int);    // function prototype for simon()

int main()

{

    using namespace std;

    simon(3);       // call the simon() function

    cout << "Pick an integer: ";

    int count;

    cin >> count;

    simon(count);   // call it again

    cout << "Done!" << endl;

    return 0;

}

void simon(int n)   // define the simon() function

{

    using namespace std;

    cout << "Simon says touch your toes " << n << " times." << endl;

}                   // void functions don't need return statements

下面试运行情况：

Simon says touch your toes 3 times.

Pick an integer: 512

Simon says touch your toes 512 times.

Done!

       程序中包含了cin语句来从键盘上获取数据。

       该程序中包含了除main函数以外的另一个函数simon()，他和main函数定义的格式相同，函数的统一格式如下：

type functionname (argumentlist)

{

       statements

}

       注意，定义simon()的代码在main()函数的后面，C++中不允许将函数定义在另一个函数内。每个函数的定义都是独立的，所有的函数的创建都是平等的。

simon()函数的函数头定义如下：

void simon(int n)

以void 开头表明simon()没有返回值，因此我们不能类是这样的使用它。

simple = simon(3);

       有返回值的函数如下

// convert.cpp -- converts stone to pounds

#include <iostream>

int stonetolb(int);     // function prototype

int main()

{

    using namespace std;

    int stone;

    cout << "Enter the weight in stone: ";

    cin >> stone;

    int pounds = stonetolb(stone);

    cout << stone << " stone = ";

    cout << pounds << " pounds." << endl;

    return 0;

}

int stonetolb(int sts)

{

     return 14 * sts;

}

下面是运行情况：

Enter the weight in sone: 14

14 stone = 196 pounds.

程序通过cin语句给stone提供一个值，然后在main函数中，把这个值传递给stonetolb()函数，这个植被赋给sts之后，stonetolb()用return　将 14*sts返回给main()。

函数头中的int表明stonetolb()将返回一个整数。

除了int类型之外，C++的内置数据类型还有：unsigned long、long、unsigned int、unsigned short、short、char、unsigned char、signed char、bool、　　float、double、long double。

对于数据的输入和输出有几道练习题

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1089

至

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1096

二、算法基础

1. 什么是算法

       算法是完成特定任务的有限指令集。所有的算法必须满足下面的标准：

a.       输入。由外部题共零个或多个输入量。

b.       输出。至少产生一个输出量。

c.       明确性。每条指令必须清楚，不具模糊性。

d.       有限性。如果跟踪算法的指令，那么对于所有的情况，算法经过有限步以后终止。

e.       有效性。每条指令必须非常基础，原则上使用笔和纸就可以实现

例 选择排序

void SelectionSort(Type a[], int n)

//Sort the arrat a[1:n] into nondecreasing order.

{

       for (int i=1; i<=n; i++)

       {

              int j=1;

              for (int k=i+1; k<=n; k++)

                     if (a[k] < a[j])

                            j = k;      

              Type t = a[i];

              a[i] = a[j];

              a[j] = t;

       }

}

使用该函数时，应将Type替换为C++中的数据类型

3．性能分析

       程序P所用时间定义为T(P), T(P)是编译时间和运行时间之和。

       下面我们计算一下选择排序运行时所要花费的时间

那么该算法运行的时间

那么，在最坏的条件下， 的值应该是

所以，算法的运行时间为

4．渐进符号

定义： [大O]函数 ，念做 是 的大”oh”，当且仅当存在正常数 和 ，使得对于所有的 ，有 。

例

       对于所有 有 ，所以 。

       对于所有 有 ，所以

       对于所有 有 ，所以

当然对于所有 有 ，所以

定义： [Ω]函数 ，念做 是 的”omega”，当且仅当存在正常数 和 ，使得对于所有的 ，有 。

例

       对于所有 有 ，所以 。

当然 ，但是 。

现然无论是O还是Ω，都不能精确的描述一个函数

定义： [Θ]函数 ，念做 是 的”theta”，当且仅当存在正常数 和 ，使得对于所有的 ，有 。

例

       对于 有 且 ，所以

Θ记号要比O和Ω都要精确。

排列生成器Θ(n!)

void Perm(Type a[], int k, int n)

{

       if (k==n){ //Output permutation.

              for (int i-1; i<n; i++) cout<<a[i]<<" ";

       }

       else //a[k:n] has more than one permutation.

               // Generate these recursively.

              for (int i=k; i<=n; i++){

                     Type t=a[k]; a[k]=a[i]; a[i]=t;

                     Perm(a, k+1, n);

                     //All permutations of a[k+1:n]

                     t=a[k]; a[k]=a[i]; a[i]=t;

              }

}

对于下面的程序

#include<iostream>

using namespace std;

void Perm(int a[], int k, int n)

{

if (k<n-1)

{

int i, t;

for (i=k; i<n; i++)

{

t = a[k];

a[k] = a[i];

a[i] = t;

Perm(a, k+1, n);

t = a[k];

a[k] = a[i];

a[i] = t;

}

}

else

{

int i;

for (i=0; i<n; i++)

{

cout<<a[i]<<'/t';

}

cout<<endl;

}

}

int main(void)

{

int a[3] = {1, 2, 3};

Perm(a, 0, 3);

return 0;

}

该程序的运行结果为

1     2     3    

1     3     2    

2     1     3    

2     3     1    

3     2     1    

3     1     2    

那么，该函数就完成了对一个数组进行全排列的操作

下面，分析该程序，我用圆圈代表每次函数的调用

每次函数的调用都用序号表示

1.         a: 1 2 3   k: 0

2.         a: 1 2 3   k: 1

3.         a: 1 2 3    k: 2

4.         a: 1 3 2    k: 2

5.         a: 2 1 3    k: 1

6.         a: 2 1 3    k: 2

7.         a: 2 3 1    k: 2

8.         a: 3 2 1    k: 1

9.         a: 3 2 1    k: 2

10.     a: 3 1 2    k: 2

排列生成器的另外一个版本

他将输出给定n个布尔变量的所有可能的组合

void Perm (bool a[], int k, int n)

{

       if (k == n)

       {

              //statement

       }

       else

       {

              a[k] = true;

              Perm(a, k+1, n);

              a[k] = false;

              Perm(a, k+1, n);

       }

}

在上次冬季赛上有这么一道题

竞赛真理

JUNNY在经历了无数次学科竞赛的失败以后，得到了一个真理：做一题就要对一题！但是要完全正确地做对一题是要花很多时间（包括调试时间），而竞赛的时间有限。所以开始做题之前最好先认真审题，估计一下每一题如果要完全正确地做出来所需要的时间，然后选择一些有把握的题目先做。 当然，如果做完了预先选择的题目之后还有时间，但是这些时间又不足以完全解决一道题目，应该把其他的题目用贪心之类的算法随便做做，争取“骗”一点分数。

根据每一题解题时间的估计值，确定一种做题方案（即哪些题目认真做，哪些题目“骗”分，哪些不做），使能在限定的时间内获得最高的得分。

INPUT FORMAT:

从标准输入（cin,scanf等）读入数据。数据有多组，先输入K（K组数据）。每组第一行有两个正整数N和T，表示题目的总数以及竞赛的时限（单位秒）。以下的N行，每行４个正整数W1i 、T1i 、W2i 、T2i ，分别表示第i题：完全正确做出来的得分，完全正确做出来所花费的时间（单位：秒），“骗”来的分数，“骗”分所花费的时间（单位秒）。其中，3 ≤ N ≤ 30，2 ≤ T ≤ 1080000，1 ≤ W1i 、W2i ≤ 30000，1 ≤ T1i 、T2i ≤ T。

OUTPUT FORMAT:

直接把所求得的最高得分输出。数据之间需换行。

SAMPLE INPUT:

2

4 10800

18 3600 3 1800

22 4000 12 3000

28 6000 0 3000

32 8000 24 6000

3 7200

50 5400 10 900

50 7200 10 900

50 5400 10 900

SAMPLE OUTPUT :

50

70

下面我们对问题进行简化。我们只要考虑是做题还是不做题。

从标准输入（cin,scanf等）读入数据。数据只有一组，先输入K（K组数据）。每组第一行有两个正整数N和T，表示题目的总数以及竞赛的时限（单位秒）。以下的N行，每行２个正整数Wi 、Ti，分别表示第i题：做出来的得分和做出来所花费的时间（单位：秒），OUTPUT FORMAT:

直接把所求得的最高得分输出。数据之间需换行。

SAMPLE INPUT:

5 10

1 20

5 10

4 15

3 20

2 10

SAMPLE OUTPUT :

65

下面是用全排列生成器完成的代码

#include<iostream>

using namespace std;

int m;

int t[20][2];

int tSum;

void work(bool a[], int n);

void f(bool a[], int k, int n)

{

       if (k < n)

       {

              a[k] = true;

              f(a, k+1, n);

              a[k] = false;

              f(a, k+1, n);

       }

       else

       {

              work(a, n);

       }

}

void work(bool a[], int n)

{

       int x;

       int time=0, score=0;

       for (x=0; x<n; x++)

       {

              if (a[x])

              {

                     score += t[x][1];

                     time += t[x][0];

              }

       }

       if (time <= tSum)

       {

              if (score > m)

              {

                     m = score;

              }

       }

}

int main(void)

{

       bool a[30];

       int n, c;

       cin>>n>>tSum;

       m = 0;

       for (c=0; c<n; c++)

       {

              cin>>t[c][0];

              cin>>t[c][1];

       }

       f(a, 0, n);

       cout<<m<<endl;

       return 0;

}

通过一个排列生成器将所有的可能送入work()函数内，然后work函数找到在时间范围内的最高的分数。

现在我们将其优化，将work()和f()合并，就能得到更好的程序

#include<iostream>

using namespace std;

int m;

int t[20][2];

int tSum;

void dfs(int k, int n, int cScore, int cTime)

{

       if (k < n)

       {

              dfs(k+1, n, cScore , cTime);

              dfs(k+1, n, cScore + t[k][1], cTime + t[k][0]);

       }

       else

       {

              if (cTime <= tSum)

              {

                     if (cScore > m)

                     {

                            m = cScore;

                     }

              }

       }

}

int main(void)

{

       int n, c;

       cin>>n>>tSum;

       m = 0;

       for (c=0; c<n; c++)

       {

              cin>>t[c][0];

              cin>>t[c][1];

       }

       dfs(0, n, 0, 0);

       cout<<m<<endl;

       return 0;

}

这个程序就是深度优先搜索，如果n非常大，递归调用的次数是非常惊人的，达到 次。为了减少递归的次数，我们可以采取剪枝的手段，在递归下一次前判断是否可行。如果肯定不能就停止递归，节省时间。

#include<iostream>

using namespace std;

int m;

int t[20][2];

int tSum;

void dfs(int k, int n, int cScore, int cTime)

{

       if (k < n)

       {

              dfs(k+1, n, cScore , cTime);

              if (cTime < tSum)

              {

                     dfs(k+1, n, cScore + t[k][1], cTime + t[k][0]);

              }

       }

       else

       {

              if (cTime <= tSum)

              {

                     if (cScore > m)

                     {

                            m = cScore;

                     }

              }

       }

}

int main(void)

{

       int n, c;

       cin>>n>>tSum;

       m = 0;

       for (c=0; c<n; c++)

       {

              cin>>t[c][0];

              cin>>t[c][1];

       }

       dfs(0, n, 0, 0);

       cout<<m<<endl;

       return 0;

}