归并排序求逆序对

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我是靠谱客的博主活泼超短裙，最近开发中收集的这篇文章主要介绍归并排序求逆序对，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

逆序对

定义：对于一个包含N个非负整数的数组A[1..n]，如果有i < j，且A[ i ]>A[ j ]，则称(A[ i] ,A[ j] )为数组A中的一个逆序对。

例如，数组（3，1，4，5，2）的逆序对有(3,1),(3,2),(4,2),(5,2)，共4个。

归并排序

归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

归并操作

归并操作(merge)，也叫归并算法，指的是将两个顺序序列合并成一个顺序序列的方法。

如　设有数列{6，202，100，301，38，8，1}

初始状态：6,202,100,301,38,8,1

第一次归并后：{6,202},{100,301},{8,38},{1}，比较次数：3；

第二次归并后：{6,100,202,301}，{1,8,38}，比较次数：4；

第三次归并后：{1,6,8,38,100,202,301},比较次数：4；

总的比较次数为：3+4+4=11；

逆序数为14；

算法描述

归并操作的工作原理如下：

第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列

第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置

第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置

重复步骤3直到某一指针超出序列尾

将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

比较

归并排序是稳定的排序.即相等的元素的顺序不会改变.如输入记录 1(1) 3(2) 2(3) 2(4) 5(5) (括号中是记录的关键字)时输出的 1(1) 2(3) 2(4) 3(2) 5(5) 中的2 和 2 是按输入的顺序.这对要排序数据包含多个信息而要按其中的某一个信息排序,要求其它信息尽量按输入的顺序排列时很重要。归并排序的比较次数小于快速排序的比较次数，移动次数一般多于快速排序的移动次数。

用途

（1）排序

速度仅次于快速排序，为稳定排序算法，一般用于对总体无序，但是各子项相对有序的数列。

（2）求逆序对数

具体思路是，在归并的过程中计算每个小区间的逆序对数，进而计算出大区间的逆序对数（也可以用树状数组来求解）

求逆序对（的个数）

1.两重循环进行枚举。该算法的时间复杂度为O(n^2)。

int count_inversion(int *a, int N)
{
    int count = 0;
    int i, j;
    for(i=0; i<N-1; i++)
        for(j=i+1; j<N; j++)
            if(a[i]>a[j])
            count++;
    return count;
}

2.利用归并排序的思想求解逆序对的个数，这是解决该问题的一种较为高效的算法。该算法的时间复杂度为O(nlogn)。

#include<iostream> 
#include<cstdio> 
using namespace std; 
int n,a[2000001],i,c[2000001]; 
long long ans; 
void x(int l,int r) 
{ 
    int mid=(l+r)/2,i,j,tmp; 
    if(r>l) 
    { 
        x(l,mid); 
        x(mid+1,r); 
        tmp=l; 
        for(i=l,j=mid+1;i<=mid&&j<=r;) 
        { 
            if(a[i]>a[j]) 
            { 
                c[tmp++]=a[j++]; 
                ans+=mid-i+1; 
            } 
            else c[tmp++]=a[i++]; 
        } 
        if(i<=mid) for(;i<=mid;) c[tmp++]=a[i++]; 
        if(j<=r) for(;j<=r;) c[tmp++]=a[j++]; 
        for(i=l;i<=r;i++) a[i]=c[i]; 
    } 
} 
int main() 
{ 
    cin>>n; 
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); 
    x(1,n); 
    cout<<ans; 
}