Tensorflow入门(五)——损失函数

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本文在原文基础上进行细微的修改和完善。

1. 什么是损失函数

损失函数（loss function）是机器学习中非常重要的内容，它是度量模型输出值与目标值的差异，也就是作为评估模型效果的一种重要指标，损失函数越小，表明模型的鲁棒性就越好。

2. 怎样使用损失函数

在TensorFlow中训练模型时，通过损失函数告诉TensorFlow预测结果相比目标结果是好还是坏。在多种情况下，我们会给出模型训练的样本数据和目标数据，损失函数即是比较预测值与给定的目标值之间的差异。

下面将介绍在TensorFlow中常用的损失函数。

2.1 回归模型的损失函数

首先讲解回归模型的损失函数，回归模型是预测连续因变量的。

为方便介绍，先定义预测结果（-1至1的等差序列）、目标结果（目标值为0），代码如下：

import tensorflow as tf

sess = tf.Session()

y_pred = tf.linspace(-1., 1., 100)

y_target = tf.constant(0.)

注意：在实际训练模型时，预测结果是模型输出的结果值，目标结果是样本提供的。

（1）L1正则损失函数（即绝对值损失函数）

L1正则损失函数是对预测值与目标值的差值求绝对值，公式如下：
$$L(Y,f(X))=|Y-f(X)|$$
在TensorFlow中调用方式如下：

loss_l1_vals = tf.abs(y_pred - y_target)

loss_l1_out = sess.run(loss_l1_vals)

L1正则损失函数在目标值附近不平滑，会导致模型不能很好地收敛。

（2）L2正则损失函数（即欧拉损失函数）

L2正则损失函数是预测值与目标值差值的平方和，公式如下：
$$L(Y,f(X))=\sum _{i=1}^n(Y-f(X){)}^2$$
当对L2取平均值，就变成均方误差（MSE, mean squared error），公式如下：
$$MSE(y,y^{\prime })=\frac{{\sum }_{i=1}^n(y_i-y_i^{\prime }{)}^2}{n}$$
在TensorFlow中调用方式如下：

# L2损失
loss_l2_vals = tf.square(y_pred - y_target)

loss_l2_out = sess.run(loss_l2_vals)

# 均方误差
loss_mse_vals = tf.reduce.mean(tf.square(y_pred - y_target))

loss_mse_out = sess.run(loss_mse_vals)

L2正则损失函数在目标值附近有很好的曲度，离目标越近收敛越慢，是非常有用的损失函数。

L1、L2正则损失函数如下图所示：

（3）Pseudo-Huber 损失函数

Huber损失函数经常用于回归问题，它是分段函数，公式如下：
$$L_{\delta }(y,f(x))=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(y-f(x){)}^2& for|y-f(x)|\le \delta ,\\ \delta |y-f(x)|-\frac{1}{2}{\delta }^2& otherwise.\end{array}$$
从这个公式可以看出：

当残差（预测值与目标值的差值，即y-f(x) ）很小的时候，损失函数为L2范数；残差大的时候，为L1范数的线性函数。

Peseudo-Huber损失函数是Huber损失函数的连续、平滑估计，在目标附近连续，公式如下：
$$L_{\delta }(a)={\delta }^2(\sqrt{1+(a/\delta {)}^2}-1)$$
该公式依赖于参数delta，delta越大，则两边的线性部分越陡峭。

在TensorFlow中的调用方式如下：

delta = tf.constant(0.25)

loss_huber_vals = tf.mul(tf.square(delta), tf.sqrt(1. + tf.square(y_target - y_pred) / delta) - 1.)

loss_huber_out = sess.run(loss_huber_vals)

L1、L2、Huber损失函数的对比图如下，其中Huber的delta取0.25、5两个值：

2.2 分类模型的损失函数

分类损失函数主要用于评估预测分类结果，重新定义预测值（-3至5的等差序列）和目标值（目标值为1），如下：

y_pred = tf.linspace(-3., 5., 100)

y_target = tf.constant(1.)

y_targets = tf.fill([100, ], 1.)

（1）Hinge损失函数

Hinge损失常用于二分类问题，主要用来评估向量机算法，但有时也用来评估神经网络算法，公式如下：
$$l(y)=\max (0,1-t\cdot y)$$
在TensorFlow中的调用方式如下：

loss_hinge_vals = tf.maximum(0., 1. - tf.mul(y_target, y_pred))

loss_hinge_out = sess.run(loss_hinge_vals)

上面的代码中，目标值为1，当预测值离1越近，则损失函数越小，如下图：

（2）两类交叉熵（Cross-entropy）损失函数

交叉熵来自于信息论，是分类问题中使用广泛的损失函数。交叉熵刻画了两个概率分布之间的距离，当两个概率分布越接近时，它们的交叉熵也就越小，给定两个概率分布p和q，则距离如下：
$$H(p,q)=-\sum _{x}p(x)\log q(x)$$
对于两类问题，当一个概率p=y，则另一个概率q=1-y，因此代入化简后的公式如下：
$$H(p,q)=-\sum _i{p}_i\log q_i=-y\log \hat{y}-(1-y)\log (1-\hat{y})$$
在TensorFlow中的调用方式如下：

loss_ce_vals = tf.mul(y_target, tf.log(y_pred)) - tf.mul((1. - y_target), tf.log(1. - y_pred))

loss_ce_out = sess.run(loss_ce_vals)

Cross-entropy损失函数主要应用在二分类问题上，预测值为概率值，取值范围为[0,1]，损失函数图如下：

（3）Sigmoid交叉熵损失函数

与上面的两类交叉熵类似，只是将预测值y_pred值通过sigmoid函数进行转换，再计算交叉熵损失。在TensorFlow中有内置了该函数，调用方式如下：

loss_sce_vals = tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(y_pred, y_targets)

loss_sce_out = sess.run(loss_sce_vals)

由于sigmoid函数会将输入值变小很多，从而平滑了预测值，使得sigmoid交叉熵在预测值离目标值比较远时，其损失的增长没有那么的陡峭。与两类交叉熵的比较图如下：

（4）加权交叉熵损失函数

加权交叉熵损失函数是Sigmoid交叉熵损失函数的加权，是对正目标的加权。假定权重为0.5，在TensorFlow中的调用方式如下：

weight = tf.constant(0.5)

loss_wce_vals = tf.nn.weighted_cross_entropy_with_logits(y_pred, y_targets, weight)

loss_wce_out = sess.run(loss_wce_vals)

（5）Softmax交叉熵损失函数

Softmax交叉熵损失函数是作用于非归一化的输出结果，只针对单个目标分类计算损失。

通过softmax函数将输出结果转化成概率分布，从而便于输入到交叉熵里面进行计算（交叉熵要求输入为概率），softmax定义如下：
$$\sigma (z{)}_j=\frac{e^{z_j}}{{\sum }_{k=1}^K{e}^{z_k}}\text{f}orj=1,...,K$$
结合前面的交叉熵定义公式，则Softmax交叉熵损失函数公式如下：
$$L_i=-\log (\frac{e^{f_{y_i}}}{{\sum }_j{e}^{f_j}})\text{or equivalently}{L}_i=-f_{y_i}+\log \sum _j{e}^{f_j}$$
在TensorFlow中调用方式如下：

y_pred = tf.constant([[1., -3., 10.]])

y_target = tf.constant([[0.1, 0.02, 0.88]])

loss_sce_vals = tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(y_pred, y_target)

loss_sce_out = sess.run(loss_sce_vals)

用于回归相关的损失函数，对比图如下：

2.3 总结

下面对各种损失函数进行一个总结，如下表所示：

在实际使用中，对于回归问题经常会使用MSE均方误差（L2取平均）计算损失，对于分类问题经常会使用Sigmoid交叉熵损失函数。

大家在使用时，还要根据实际的场景、具体的模型，选择使用的损失函数。

最后

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