概述
统计决策理论1 统计问题与统计决策
- Kolmogorov公理化体系
- 统计问题的描述
这个系列的目标是在数理统计的语境下建立统一描述统计问题的统计决策理论，第一讲阐述统计问题和统计决策的含义。
Kolmogorov公理化体系
概率论与数理统计简单地说就是描述随机现象的数学模型，现代概率论的基础是Kolmogorov用来描述概率的公理体系。首先定义样本空间 Ω Omega Ω，它是所有可以想到的随机事件的结果 w w w的集合。记 S mathbf{S} S是样本空间的一个 σ sigma σ-代数。 P P P是 ( Ω , S ) (Omega,mathbf{S}) (Ω,S)的一个非负测度，满足 P ( Ω ) = 1 P(Omega)=1 P(Ω)=1，也称 P P P是一个概率测度或者概率。称 ( Ω , S , P ) (Omega,mathbf{S},P) (Ω,S,P)是概率空间。
如果同一个随机事件独立重复了 N N N次，每一次的样本空间记为 ( Ω i , S i ) (Omega^i,mathbf{S}^i) (Ωi,Si)，则这 N N N次的样本空间可以记为样本空间的直积，对应的 σ sigma σ-代数是每一个 σ sigma σ-代数的张量积
Ω = Ω 1 × Ω 2 × ⋯ × Ω N S = S 1 ⊗ S 2 ⊗ ⋯ ⊗ S N Omega = Omega^1 times Omega^2 times cdots times Omega^N \ mathbf{S} = mathbf{S}^1 otimes mathbf{S}^2 otimes cdots otimes mathbf{S}^N Ω=Ω1×Ω2×⋯×ΩNS=S1⊗S2⊗⋯⊗SN
新的这个 σ sigma σ-代数中的元素的结构可以表示为 A 1 × ⋯ × A N = { ω ∈ Ω : ω i ∈ A N , A i ⊂ Ω i } A^1 times cdots times A^N = {omega in Omega: omega^i in A^N,A^i subset Omega^i} A1×⋯×AN={
最后
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