估计问题

　　通常，我们通常会更具已有的测量去估计某些我们需要的状态量。在计算机视觉中，比如；两幅图像上的对应点集去计算一幅图像到另外一幅图像点的2D射影变换；在已知两幅图片中点的对应关系去估计两视图之间的基本矩阵；根据空间中的3D点集和对应的相机图像平面上的2D点去估计3D点到2D点的射影映射关系。

　　对于2D射影变换，我们研究对应点的集合$mathbf x_i leftrightarrow mathbf x_i'$，求解使得所有的$i$都满足的$Hmathbf x_i=mathbf x_i'$中的$3times3$矩阵$H$。就该问题接下来将展开讨论，我们先讲几个重要的概念。

• 测量数 我们考虑这样一个问题：计算射影变换$H$最少需要多少的点对$mathbf x_i leftrightarrow mathbf x_i'$。对于射影变换矩阵$H$，这是一个具有$9$个元素的矩阵，对于齐次表示，我们可以忽略一个尺度因子，从而这个2D射影变换的自由度为$8$。考虑点到点的对应关系的约束，第一幅图像上的点$mathbf x_i$映射到另外一幅视图上的点$Hmathbf x_i'$，这些2D点的自由度是$2$，尽管都是以$3times1$齐次坐标表示，不考虑尺度因子他们的自由度仍为$2$。我们可以看到一对点可以提供两个约束方程（分别是$x$和$y$坐标各一个方程），所以约束一个自由度为$8$的矩阵$H$至少需要$4$组点对。
  • 近似解 如果我们只给出$4$组对应点，那么可以得到$H$的精确解，也称为最小配置解。这种解定义了鲁棒估计（RANSAC）中所需的子集大小。但是点的测量往往会有噪声，如果我们给定多余$4$组解，那么这组数据可能不和任何一个射影变换完全符合，因此我们需要找到最适合这组数据的变换。通常会使用最小化某个代价函数来求得这个变换$H$。
  • 黄金标准算法 通常会存在一个最优的代价函数，也就是在一定的假设下，使得代价函数的最小值对应的$H$是最好的估计。计算该代价函数最小的算法则称为“黄金标准”算法。

  直接线性变换（DLT）

  　　我们首先讨论一个从给定四组对应2D点对$mathbf x_i leftrightarrow mathbf x_i'$确定变换$H$的一种简单的线性算法。这个变换由方程$mathbf x_i'=Hmathbf x_i'$给出，由于这是一个齐次矢量方程，所以矢量$mathbf x_i'$和$Hmathbf x_i$不相等，他们具有相同的方向而差了一个尺度因子。因此在求解这个方程的时候我们可以使用叉乘的形式：$mathbf x_i'times Hmathbf x_i=mathbf 0$。

  　　将$H$的$j$行记为$mathbf h^{jT}$，那么：
  

  $$Hmathbf x_i=begin{pmatrix} mathbf h^{1T}mathbf x_i \ mathbf h^{2T}mathbf x_i \ mathbf h^{3T}mathbf x_i end{pmatrix}$$
  　　记$mathbf x_i'=(x_i',y_i',w_i')^T$，则叉乘可以显性地表示为：
  $$mathbf x_i' times Hmathbf x_i=begin{pmatrix} y_i'mathbf h^{3T}mathbf x_i-w_i'mathbf h^{2T}mathbf x_i\ w_i'mathbf h^{1T}mathbf x_i-x_i'mathbf h^{3T}mathbf x_i\ x_i'mathbf h^{2T}mathbf x_i-y_i'mathbf h^{1T}mathbf x_i end{pmatrix}$$
  　　因为对于$j=1,2,3$，$mathbf h^{jT}mathbf x_i=mathbf x_i^Tmathbf h^j$皆成立，从而我们可以给出关于$H$的三个方程，比且写成如下形式：
  

最后

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