机器学习: 正则化一、形式与作用二、正则项为何起作用三、各类正则项性质四、参考

一、形式与作用

1、形式

机器学习，深度学习损失函数一般记为$$L=\frac{1}{N}\sum _{i=0}^{N}l(f(x_i;W),y_i)$$
其中，$N$为样本数，$l$为损失函数，$f$为模型,$W$为模型参数。加入正则项的损失函数可记为:
$$L=\frac{1}{N}\sum _{i=0}^{N}l(f(x_i;W),y_i))+\lambda \Omega (f)$$
其中，$\Omega (f)$为模型的复杂度，$\lambda \Omega (f)$为正则项, 也叫惩罚项。$\lambda$为超参数，控制惩罚力度。

2、作用

正则项的重要作用是防止模型对训练数据的过拟合。如下图：

其中蓝线表示的是未加正则项的模型，其对训练数据(蓝色圆圈)过拟合，遇到测试数据(绿色方块)表现非常不好，而绿线为加入正则项后的模型，表现较好。

二、正则项为何起作用

1、几何直观理解

过拟合的重要性质是拟合函数曲线导数绝对值非常大. 因为过拟合时，函数需要兼顾每一个样本点，因此需要剧烈变化。如上图中的蓝线。而常见的正则项，如一范数，二范数，他们都有减小模型参数绝对值的作用，这就使得导数绝对值变小，使得拟合函数曲线更平滑，也就能在一定程度减少过拟合。

2、假设空间理解

所有的机器学习的学习过程都归结为从假设空间$\mathcal{H}$中选择最优的模型$\hat{f}$
$$\hat{f}=arg\underset{f\in \mathcal{H}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{n}l(y_i,f(x_i;W))$$
假设空间越大，可供选择的机会就越多，但是选到$E_{in}$小，$E_{out}$大的模型的可能性就越大，也就是过拟合风险就越大。我们通过将模型选择的空间约束到假设空间的一个子空间，这样就可以降低过拟合风险。如何约束? 即解带约束的优化问题。用二范数举例:
$$\begin{gathered} \hat{f}=arg\underset{f\in \mathcal{H}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{n}l(y_i,f(x_i;W)) \\ s.t.||W|{|}^2\le r \end{gathered}$$

其将模型的选择空间限制在了半径小于$r$的超球体中。这样就减小了模型选择空间，使得过拟合风险得以降低。

那么如何解这个式子？根据拉格朗日乘子法，这等价于解:
$$\begin{array}{rl}\hat{f}& =arg\underset{f\in \mathcal{H}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{n}l(y_i,f(x_i;W))+\gamma (||W|{|}^2-r)\end{array}$$
其中$\gamma \ge 0$, 很明显，求解上式等价于求解下式.
$$\hat{f}=arg\underset{f\in \mathcal{H}}{\min }\frac{1}{N}\sum _{i=0}^{N}l(y_i,f(x_i;W))+\lambda ||W|{|}^2.$$
其中$\lambda$为超参数, 此即优化带正则项的损失函数。

因此加入正则项相当于约束了假设空间$\mathcal{H}$. 从而使得选择到坏的模型的机会降低，也就起到了防止过拟合的作用。直观来说，$\lambda$越大，约束也就越强。

3、贝叶斯角度理解

(1) 噪声服从高斯分布，无先验。
从贝叶斯角度，对该类问题，我们是要建模一个概率分布，因此我们需要优化如下极大似然问题:
$$arg\underset{\theta }{\max }P(Y,X|\theta )$$
其中$\theta$是希望求出的参数，真正的$\theta$只有上帝知道，就好像最好的模型$f^{\ast }$只有上帝知道，我们所求的$\hat{f}$只能去逼近它一样。

对于每一个样本 { x i , y i } {x_i, y_i} {xi​,yi​}，$x_i$的真实标签$Y$是一个随机变量，均值为:$f(x_i,\theta )$。由于产生噪声的原因很多，根据中心极限定理，我们可以假定噪声服从高斯分布。即$Y-f(x_i,\theta )\sim N(0,{\sigma }^2)\to Y\sim N(f(x_i,\theta ),{\sigma }^2)$. 因此极大似然可以写为:
P ( Y , X ∣ θ ) = Π i = 1 N 1 σ 2 π e x p { − 1 2 σ 2 ( y i − f ( x i , θ ) ) 2 } P(Y,X|theta) = Pi_{i=1}^{N}frac{1}{sigmasqrt{2pi}}exp{-frac{1}{2sigma^2}(y_i-f(x_i,theta))^2} P(Y,X∣θ)=Πi=1N​σ2π ​1​exp{−2σ21​(yi​−f(xi​,θ))2}
最大化该极大似然： 取$log$，再取负号，转而等价为如下极小化问题:
$$arg\underset{\theta }{\min }\sum _{i=1}^N(y_i-f(x_i,\theta ){)}^2$$
此即最小二乘问题。因此假定噪声为高斯噪声，单一的平方和误差函数是最大似然函数的一个自然结果。

(2) 噪声服从高斯分布，参数$\theta$有先验。
贝叶斯认为，参数也是一个随机变量，也服从一个分布，进而加入参数分布的先验，我们极大化如下后验概率:
$$\begin{array}{rl}arg\underset{\theta }{\max }P(Y,X|\theta )f(\theta )& =arg\underset{\theta }{\min }-logP(Y,X|\theta )-logf(\theta )\\ & =arg\underset{\theta }{\min }\sum _{i=1}^N(y_i-f(x_i,\theta ){)}^2-logf(\theta )\end{array}$$
其中$f(\theta )$是参数的先验分布，如果

• 当$f(\theta )$服从（标准）正态分布的时候，上式对应了L2正则化。
• 当$f(\theta )$服从拉普拉斯分布的时候，上式对应了L1正则化。

因此，从贝叶斯角度，正则化项相当于加入了参数的先验分布。这也相当于给了参数一个限制，因此起到了防止过拟合的作用。

4、从Lipschitz约束角度理解

[3] 中从Lipschitz约束推导出了深度学习模型中L2范数的意义，直观说明了其为何能够增强模型的泛化能力。

三、各类正则项性质

这里主要总结常用的$L1$和$L2$正则项。
(1) L1正则项: 将模型空间限制在一个超方体中。目标函数测地线大概率会与超方体顶点相交。在顶点时，其中一些参数为为0，因此使得参数具有稀疏性。
(2) L2正则项: 将模型空间限制在一个超球体中, 不会产生稀疏性，但是所有的参数都会接近0。
L1在特征选择时非常有用。

四、参考

• [1] 知乎: 如何理解机器学习中的正则化
• [2] 知乎: L1范数与L2范数的区别 - 涛笙依旧的文章
• [3] 苏剑林. (2018, Oct 07). 《深度学习中的Lipschitz约束：泛化与生成模型 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/6051

最后

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