谈谈解线性同余方程

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我是靠谱客的博主潇洒灰狼，最近开发中收集的这篇文章主要介绍谈谈解线性同余方程，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

因为ACM/ICPC中有些题目是关于数论的，特别是解线性同余方程，所以有必要准备下这方面的知识。关于这部分知识，我先后翻看过很多资料，包括陈景润的《初等数论》、程序设计竞赛例题解、“黑书”和很多网上资料，个人认为讲的最好最透彻的是《算法导论》中的有关章节，看了之后恍然大悟。经过几天的自学，自己觉得基本掌握了其中的“奥妙”。拿出来写成文章。

那么什么是线性同余方程？对于方程：ax≡b(mod m)，a，b，m都是整数，求解x 的值。

解题例程：pku1061 青蛙的约会解题报告

符号说明：

mod表示：取模运算

ax≡b(mod m)表示：(ax - b) mod m = 0，即同余

gcd(a,b)表示：a和b的最大公约数

求解ax≡b(mod n)的原理：

对于方程ax≡b(mod n)，存在ax + by = gcd(a,b)，x，y是整数。而ax≡b(mod n)的解可以由x，y来堆砌。具体做法，见下面的MLES算法。

第一个问题：求解gcd(a,b)

定理一：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

实现：古老的欧几里德算法

int Euclid(int a,int b)
{
if(b == 0)
return a;
else
return Euclid(b,mod(a,b));
}

附：取模运算

int mod(int a,int b)
{
if(a >= 0)
return a % b;
else
return a % b + b;
}

第二个问题：求解ax + by = gcd(a,b)

定理二：gcd(b,a mod b) = b * x' + (a mod b) * y'

= b * x' + (a - a / b * b) * y'

= a * y' + b * (x' - a / b * y')

= a * x + b * y

则：x = y'

y = x' - a / b * y'

实现：

triple Extended_Euclid(int a,int b)
{
triple result;
if(b == 0)
{
      result.d = a;
      result.x = 1;
      result.y = 0;
}
else
{
      triple ee = Extended_Euclid(b,mod(a,b));
      result.d = ee.d;
      result.x = ee.y;
      result.y = ee.x - (a/b)*ee.y;
}
return result;
}

附：三元组triple的定义

struct triple
{
int d,x,y;
};

第三个问题：求解ax≡b(mod n)

实现：由x，y堆砌方程的解

int MLES(int a,int b,int n)
{
triple ee = Extended_Euclid(a,n);
if(mod(b,ee.d) == 0)
return mod((ee.x * (b / ee.d)),n / ee.d);
else
return -1;
}//返回-1为无解，否则返回的是方程的最小解

说明：ax≡b(mod n)解的个数：

如果ee.d 整除 b 则有ee.d个解；

如果ee.d 不能整除 b 则无解。