剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题题目

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：

• 0 <= n <= 100

解题思路：
此类求 多少种可能性 的题目一般都有 递推性质 ，即 f(n) 和 f(n-1)…f(1) 之间是有联系的。

设跳上 n 级台阶有 f(n) 种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况： 跳上 1 级或 2 级台阶。
      1.当为 1 级台阶： 剩 n−1 个台阶，此情况共有 f(n−1) 种跳法；
        2.当为 2 级台阶： 剩 n−2 个台阶，此情况共有 f(n−2) 种跳法。
f(n) 为以上两种情况之和，即 f(n)=f(n−1)+f(n−2) ，以上递推性质为斐波那契数列。本题可转化为 求斐波那契数列第 n 项的值 。
      青蛙跳台阶问题： f(0)=1 , f(1)=1 , f(2)=2 ；
      斐波那契数列问题： f(0)=0 , f(1)=1 , f(2)=1 。

斐波那契数列的定义是 f(n + 1) = f(n) + f(n - 1)f(n+1)=f(n)+f(n−1) ，生成第 nn 项的做法有以下几种：

1.递归法：
原理： 把 f(n) 问题的计算拆分成 f(n−1) 和 f(n−2) 两个子问题的计算，并递归，以 f(0) 和 f(1) 为终止条件。
缺点： 大量重复的递归计算，例如 f(n) 和 f(n−1) 两者向下递归都需要计算 f(n−2) 的值。

2.记忆化递归法：
原理： 在递归法的基础上，新建一个长度为 n 的数组，用于在递归时存储 f(0) 至 f(n) 的数字值，重复遇到某数字时则直接从数组取用，避免了重复的递归计算。
缺点： 记忆化存储的数组需要使用 O(N) 的额外空间。

3.动态规划：
原理： 以斐波那契数列性质 f(n+1)=f(n)+f(n−1) 为转移方程。
从计算效率、空间复杂度上看，动态规划是本题的最佳解法。
动态规划解析：

状态定义： 设 dp 为一维数组，其中 dp[i] 的值代表 斐波那契数列第 $i$ 个数字 。
转移方程： dp[i+1]=dp[i]+dp[i−1] ，即对应数列定义 f(n+1)=f(n)+f(n−1) ；
初始状态： dp[0] = 1,dp[1]=1 ，即初始化前两个数字；
返回值： dp[n] ，即斐波那契数列的第 n 个数字。

空间复杂度优化：

若新建长度为 nn 的 dpdp 列表，则空间复杂度为 O(N)O(N) 。

由于 dp 列表第 i 项只与第 i-1 和第 i−2 项有关，因此只需要初始化三个整形变量 sum, a, b ，利用辅助变量 sum 使 a,b 两数字交替前进即可 （具体实现见代码） 。
因为节省了 dp 列表空间，因此空间复杂度降至 O(1) 。

循环求余法：

大数越界： 随着 nn 增大, f(n)f(n) 会超过 Int32 甚至 Int64 的取值范围，导致最终的返回值错误。

求余运算规则： 设正整数 x, y, p ，求余符号为 ⊙ ，则有(x+y)⊙p=(x⊙p+y⊙p)⊙p 。
解析： 根据以上规则，可推出 f(n)⊙p=[f(n−1)⊙p+f(n−2)⊙p]⊙p ，从而可以在循环过程中每次计算 sum=a+b⊙1000000007 ，此操作与最终返回前取余等价。

复杂度分析：

时间复杂度 O(N) ： 计算 f(n) 需循环 n 次，每轮循环内计算操作使用 O(1) 。
空间复杂度 O(1) ： 几个标志变量使用常数大小的额外空间。

Java

class Solution {
    public int numWays(int n) {
        int a = 1, b = 1, sum;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            sum = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return a;
    }
}

python

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        a, b = 1, 1
        for _ in range(n):
            a, b = b, a + b
        return a % 1000000007

最后

以上就是积极豌豆为你收集整理的剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题题目的全部内容，希望文章能够帮你解决剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题题目所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。