力扣刷题之 青蛙跳台阶问题剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题一、题目描述二、问题分析三、数据结构及算法分析四、总结五、完整源码

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一、题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。
求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

原题链接：青蛙跳台阶问题

二、问题分析

动态规划：
青蛙跳 n 级台阶有两种情况：

1. 跳 n-1 级台阶后，再跳1级台阶
2. 跳 n-2 级台阶后，再跳2级台阶

即： f(n) = f(n-1) + f(n-2)
…
f(3) = f(2) + f(1)
f(2) = f(1) + f(0)
f(1) = 1
f(0) = 1

因此，得到递推公式：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

三、数据结构及算法分析

1.数据结构

无

2.涉及算法

利用递推公式有三种方法：

一、反序递归法
这种方法具有大量的重复计算，十分耗时，LeetCode也显示超时了。
代码实现如下：

if n <= 1:
	return 1
else:
	return dp(n-1) + dp(n-2)

时间复杂度：O(nⁿ)
空间复杂度：O(1)

二、记忆化反序递归法
在普通反序递归法的基础上，设置一个数组记录已经计算得到的 f(0) ~ f(n)，当重复遇到某个数值时可直接从数组取用，避免了重复的递归计算。
代码实现如下：

fn = [1, 1]
maxn = 1
if n <= 1:
	return fn[n]
elif maxn >= n:
	return fn[n]
else:
	fn.append(dp(n-1) + dp(n-2))
	maxn = n
	return fn[n]

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

三、动态规划法
根据递推公式计算状态转移方程
递推公式：f(n+1) = f(n) + f(n-1)
状态转移方程：f(n), f(n-1) = f '(n) + f '(n-1), f '(n)

根据状态转移方程从正序进行推导，中间只需要存储状态转移方程涉及到的数值。
初始化：f(n-1) = f(0) = 1, f(n) = f(1) = 1

代码实现如下：

if n <= 1:
	return 1
else:
	fn, fn_1 = 1, 1
	for _ in range(2, n + 1):
		fn_1, fn = fn, fn + fn_1
	return fn

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

四、总结

利用递推公式的三种方法：
一、递归法
二、记忆化递归法
三、动态规划：需要计算出状态转移方程

五、完整源码

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        if n <= 1:
            return 1
        else:
            fn, fn_1 = 1, 1
            for _ in range(2, n + 1):
                fn_1, fn = fn, fn + fn_1
            return fn % 1000000007

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

最后

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