Day25 求组合数（卢卡斯定理，组合数大数） 卡特兰数

卢卡斯定理

C(a,b)%p=C(a%p,b%p)*C(a/p,b/p)%p
然后因为本题p为质数，所以可以用逆元实现除法
传送门
用定义求组合数

int C(int a,int b,int p){
    int res=1;
    if(a<b)return 0;
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--){
        res=(LL)res*j%p;
        res=(LL)res*qmi(i,p-2,p)%p;
    }
    return res;
}

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int qmi(int a,int b,int p){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=(LL)res*a%p;
        b>>=1;
        a=(LL)a*a%p;
    }
    return res;
}

int C(int a,int b,int p){
    int res=1;
    if(a<b)return 0;
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--){
        res=(LL)res*j%p;
        res=(LL)res*qmi(i,p-2,p)%p;
    }
    return res;
}

int lucas(LL a,LL b,int p){
    if(a<p&&b<p){
        return C(a,b,p);
    }
    return (LL)C(a%p,b%p,p)*lucas(a/p,b/p,p)%p;
}

int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        LL a,b;
        int p;
        cin>>a>>b>>p;
        cout<<lucas(a,b,p)<<endl;
    }
    return 0;
}

组合数大数
指的是不模任何数，用大数解决组合数问题

可以把a!、(a-b)!、b!的质因子都算出来然后相减,其中算质因子个数很有趣，不断迭代除以质因子然后相加即可
就可以不使用除法，只用乘法把组合数的大数算出来
传送门

#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N=5010;
int primes[N],cnt;
bool st[N];
void get_prime(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){  //线性筛
        if(!st[i])primes[cnt++]=i;
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
            st[i*primes[j]]=1;
            if(i%primes[j]==0)break;
        }
    }
}

vector<int> mul(vector<int>&a,int b){
    vector<int>res;
    
    int t=0;
    for(int i=0;i<a.size()||t;i++){
        if(i<a.size())t+=a[i]*b;
        res.push_back(t%10);
        t/=10;
    }
    //由于不可能*0所以不需要去掉前导0
    return res;
}
//算出a!中可以分解出几个p
int get(int a,int p){
    int res=0;
    //巧妙地迭代除法
    while(a){
        res+=a/p;
        a/=p;
    }
    return res;
}
int num[N];
int main(){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    get_prime(a);   //获得所有小于等于a的质数
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        int j=primes[i];
        num[i]=get(a,j)-get(b,j)-get(a-b,j);
    }
    vector<int>res;
    res.push_back(1);
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        for(int j=0;j<num[i];j++){
            res=mul(res,primes[i]);
        }
    }
    for(int i=res.size()-1;i>=0;i--){
        cout<<res[i];
    }
    return 0;
}

卡特兰数
卡特兰数可以变成以下的路径条数模型
最后得到路径数是
C(2n,n)/n+1

传送门

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;

int qmi(int a,int b,int p){
    int res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=(LL)res*a%mod;
        b>>=1;
        a=(LL)a*a%mod;
    }
    return res;
}

int C(int a,int b){
    int res=1;
    for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--){
        res=(LL)res*j%mod;
        res=(LL)res*qmi(i,mod-2,mod)%mod;
    }
    return res;
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    int ans=1;
    ans=(LL)ans*C(2*n,n)%mod;
    ans=(LL)ans*qmi(n+1,mod-2,mod)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}

最后

以上就是纯真蚂蚁为你收集整理的Day25 求组合数（卢卡斯定理，组合数大数） 卡特兰数的全部内容，希望文章能够帮你解决Day25 求组合数（卢卡斯定理，组合数大数） 卡特兰数所遇到的程序开发问题。

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