2020ICPC沈阳 - United in Stormwind(推公式+FWT+SOSdp)

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题目大意：规定一张试卷上有 $m$ 个问题，每个问题只有 $A,B$ 两个选项，现在给出 $n$ 张试卷。需要选择一个问题的子集，使得有大于等于 $k$ 对试卷的答案是不完全相同的，问这样的子集有多少个

题目分析：若将选项转换为 $0$ 或 $1$，试卷视为 $01$ 串，那么两个试卷相同，当且仅当异或和等于 $0$。

设 $a_i$ 为第 $i$ 个试卷所代表的 $01$ 串， $F(S)$ 为异或和等于 $S$ 的 $01$ 串对的个数，则

$$F(S)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^n[a_i\oplus a_j=S]$$

不难发现可以转换为卷积的形式，设 $num[x]$ 为 $x$ 的出现次数，则

$$F(S)=\frac{1}{2}\sum _{i\oplus j=S}num[i]\ast num[j]$$

设 $G(T)$ 为问题集合为 $T$ 时，有多少对试卷是不相同的，则

$$G(T)=\sum _{T\cap S\ne \varnothing }F(S)$$

容斥一下

$$G(T)=\frac{n^2}{2}-\sum _{T\cap S=\varnothing }F(S)=\frac{n^2}{2}-\sum _{S\subset (U-T)}F(S)$$

可能有些同学会有疑问，为什么这里突然出来一个 $\frac{n^2}{2}$，因为根据 $F(S)$ 的定义，$F(S)$ 的最大值是这个数，所以设置为 $F$ 函数的“全集”。

然后 $U$ 是全集，$U-T$ 自然也就是 $T$ 的补集。

到此公式就推完了，$F(S)$ 可以用 $FWT$ 快速求解，$G(T)$ 可以用 $SOSdp$ 快速求解

代码：

// Problem: United in Stormwind
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/18713/M
// Memory Limit: 2097152 MB
// Time Limit: 4000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5e6+100;
char s[N];
double F[N];
LL G[N];
void FWTxor(double *f,double x,int len)
{
	for(int mid=1;(mid<<1)<=len;mid<<=1)
	{
		int R=mid<<1;
		for(int i=0;i<len;i+=R)
			for(int j=0;j<mid;j++)
			{
				f[i+j]=f[i+j]+f[i+j+mid];
				f[i+j+mid]=f[i+j]-f[i+j+mid]-f[i+j+mid];
				f[i+j]=f[i+j]*x;
				f[i+j+mid]=f[i+j+mid]*x;
			}
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	LL k;
	read(n),read(m),read(k);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%s",s);
		int state=0;
		for(int j=0;j<m;j++) {
			if(s[j]=='A') {
				state|=(1<<j);
			}
		}
		F[state]+=1.0;
	}
	FWTxor(F,1,1<<m);
	for(int i=0;i<1<<m;i++) {
		F[i]*=F[i];
	}
	FWTxor(F,0.5,1<<m);
	for(int i=0;i<1<<m;i++) {
		G[i]=LL(F[i]/2);
	}
	for(int j=0;j<m;j++) {
		for(int i=0;i<1<<m;i++) {
			if(i>>j&1) {
				G[i]+=G[i^(1<<j)];
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<1<<m;i++) {
		if(1LL*n*n-G[i]*2>=k*2) {
			ans++;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

最后

以上就是健壮飞机为你收集整理的2020ICPC沈阳 - United in Stormwind(推公式+FWT+SOSdp)的全部内容，希望文章能够帮你解决2020ICPC沈阳 - United in Stormwind(推公式+FWT+SOSdp)所遇到的程序开发问题。

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