推荐系统实践笔记（二）：利用与探索问题

推荐系统的经典问题之一，利用（Exploitation） 与 探索（Exploration）问题

• Exploitation：满足已知的用户需求
• Exploration：探索未知的用户需求

Exploitation的必要性比较容易理解，通过满足用户已知的需求，产生用户价值，这也是推荐系统存在的意义。Exploration的价值怎么理解呢？首先，对于新用户而言，系统并不知道用户的需求，这时必须通过Exploration探索和发现用户的需求。其次，对于老用户而言，兴趣点也是在不断变化中的，这时也需要通过Exploration不断发现用户的新产生需求。

Exploration必然会导致短期用户价值一定程度的牺牲，目标是为了长期的用户价值；Exploitation满足了短期的用户需求，但仅仅满足短期的需求并非是最优的选择。如何做好利用与探索，以及二者之间的权衡，下面介绍的几个算法在这些方面各有自己的特点。

$ϵ-greedy$

$$ϵ-greedy$$算法将推荐策略分为两类：利用策略和探索策略，算法的过程如下：

1. 以概率$ϵ\in (0,1)$选择探索策略，跳至过程2；以概率$1-ϵ$选择利用策略，跳至过程3。
2. 探索（Exploration）策略：随机选择n个物品中的一个进行推荐，也就是每个物品被选中的概率为$\frac{1}{n}$，并记录此次推荐的结果收益，比如$r=1$表示用户喜欢，$r=0$表示用户不喜欢。
3. 利用（Exploitation）策略：选择目前为止收益值期望最大的物品进行推荐。物品的收益值期望可以用物品的历史收益值来估计：$E(r)=\frac{{\sum }_{k=1}^K{r}_k}{K}$. 其中$K_i$表示物品i历史上被推荐的次数，$r_i^k$表示物品i第k次推荐的收益值。

UCB(Upper Confidence Bound)

UCB算法的核心是对候选物品估计收益值$R$。对

于一个随机变量的估计值，一般同时可以同时确定一个置信区间。UCB算法对物品收益的估计值以物品的收益上限为准，即选择收益上限值最大的物品进行推荐：

$$R=r+\Delta$$

其中$r$表示收益估计值，$\Delta$ 表示真实值与估计值之间的差异，这里我们取置信区间上限值。收益的估计值$r$用历史收益值的均值来估计，当采样数n越大，估计值越接近真实值：

$r=\frac{{\sum }_{i=1}^n{r}_i}{n}$

那么如何确定置信区间呢？答案是:

[Chernoff-Hoeffding Bound] 对于n个独立同分布的随机变量$x_i\in [0,1],i=1,2,...,n$，设$x={\sum }_{i=1}^n{x}_i$，则：

$$P(|E(x)-x|\le \delta )\le 1-2e^{-2n{\delta }^2}$$

回到UCB算法，则有下面不等式成立：

$$P(|E(r)-r|\le \delta )\ge 1-2e^{-2n{\delta }^2}$$

取$\delta =\sqrt{\frac{2lnT}{n}}$，则：

$$P(|E(r)-r|\le \sqrt{\frac{2lnT}{n}})\ge 1-\frac{2}{T^4}$$

可以取$\Delta =\sqrt{2lnT/n}$。最后，UCB是收益估计值计算方式为：

$$R=\frac{{\sum }_{i=1}^n{r}_i}{n}+\sqrt{\frac{2lnT}{n}}$$

LinUCB

LinUCB算法的核心同样是对物品收益值的估计，同样是以收益置信区间上限值作为标准，选择收益上限值最大的物品进行推荐，不同的是在估计收益值的时候，考虑特征：

$$R=x^T\theta +\Delta$$

其中$x$表示特征向量，包含物品特征、用户特征以及上下文特征，$\theta$为待学习的参数，参数的学习目标为最小化下面的损失函数：

$$Loss(\theta )=|X\theta -r{|}^2+|I\theta {|}^2$$

可以看出LinUCB采用线性模型估计物品的收益值。

下面$\Delta$的估计，原文中对上界的推到过程比较麻烦，这里不展开介绍了，直接使用结果：

$$P(|x^T\theta -p|\le (1+\sqrt{ln(2/\delta )/2})\sqrt{x^T(X^{T}X+I^{T}I{)}^{-1}x})\le 1-\delta$$

我们采用$\Delta =1+\sqrt{ln(2/\delta )/2})\sqrt{x^T(X^{T}X+I^{T}I{)}^{-1}x}$,其中$\delta$为超参。

最终LinUCB的收益值计算法方式为：

$$R=x^T\theta +(1+\sqrt{ln(2/\delta )/2})\sqrt{x^T(X^{T}X+I^{T}I{)}^{-1}x})$$

最后

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