一、Critic的作用

Critic就是一个神经网络，以状态 $s$ 为输入，以期望的Reward为输出。

• Critic的作用就是衡量一个Actor在某State状态下的优劣。Given an actor π, it evaluates the how good the actor is。
• Critic本身不能决定要采取哪一个Action。A critic does not determine the action.
• An actor can be found from a critic.
• Critic是依赖于Actor的，因为不同迭代周期的Actor $\pi$是不同的，所以即使输入相同的State，Critic输出的Reward也是不同的。
• Critic输出的Reward的大小取决于两个因素：
  1. 所处的State；
  2. 所要评价的Actor；
• Actor和Critic的区别：Actor是以 $s$ 为输入，输出对应的 action 和其概率；Criti则是以 $s$ 为输入，输出对应的reward期望值。
• 如何获得Critic：直接使用一个神经网络，以状态s为输入，value为输出即可。
• Policy-Based Approach 中，我们定义如下梯度用来更新 $\theta$
  
• 这其中 $R(\tau )$ 是machine与环境互动所获得的实际reward，这就导致具有很大的不确定性。因为machine采取什么样的动作是一种概率性的行为，而同一个动作，环境给予什么样的reward也是具有随机性的，这样将会导致machine的学习效率比较低下，就像没头苍蝇乱撞，可能学习很久都找不到正确的方向。所以我们要给machine一个正确的方向，即使用它的期望值代替实际的reward，期望值是可以被估算、计算的，这样就有利于我们去设计特定的函数来估算、计算期望的reward，从而引导我们的machine去做出我们想要的action。

二、Critic种类

Critic有很多种，比如：State value function $V^{\pi }(s)$、State-Action value function $Q^{\pi }(s,a)$

1、State value function $V^{\pi }(s)$：只考虑state $s$

$V^{\pi }(s)$ 表示：在使用 Actor $\pi$ 的情况下，从观察到状态 $s$ 的时刻 $t$ 直到该轮episode结束所能得到的 累计 Reward 。When using actor $\pi$, the cumulated reward expects to be obtained after seeing observation (state) $s_t$ until the end of this episode。

1.1 $V^{\pi }(s)$ 评价方法01：Monte-Carlo(MC) based approach

• Critic 就去看那个 actor $\pi$ 玩游戏，看 actor $\pi$ 玩得怎么样
• 假设现在 Critic 观察到 actor $\pi$ 经过 state $S_a$ 以后直到这轮游戏结束，它会得到的 accumulated 的 reward $G_a$，就要说如果 Critic 的 input 为 state $S_a$，那 Critic 的 output 要跟 $G_a$ 越接近越好。这不过是一个 regression 的问题。这个 actor 要调它的参数，那它的 output 跟 $G_a$ 越接近越好
• 假设现在 Critic 观察到 actor $\pi$ 经过 state $S_b$ 以后直到这轮游戏结束，它会得到的 accumulated 的 reward $G_b$，就要说如果 Critic 的 input 为 state $S_b$，那 Critic 的 output 要跟 $G_b$ 越接近越好。这不过是一个 regression 的问题。这个 actor 要调它的参数，那它的 output 跟 $G_b$ 越接近越好

1.2 $V^{\pi }(s)$ 的优劣方法02：Temporal-difference(TD) approach

• 有时候有些游戏非常的长，如果你没有办法一边玩游戏，一边 update 你的 network 的话，那你会搞太久。
• 用 Temporal-difference(TD) 方法，有一个非常明确的好处，就是当游戏还没有结束，玩到一半的时候，就可以开始 update 你的 network

1.3 MC v.s. TD

• Monte-Carlo(MC) based approach 的优势是比用TD方法精确，但是最大的问题就是它的 Various 很大。因为 $G_a$ 其实是很多个不同的 step 的 reward 的和，假设每一个 step 都会得到一个 reward，$G_a$ 是从 state $s_a$ 开始，一直玩到游戏结束，每一个 $s_i$ 的reward 的和 Reward $G_a$ 的 Variance 相较于某一个 state $s_i$ 的 reward 会是比较大的。
• Temporal-difference(TD) approach 方法中会有随机性的是 $r_t$，因为你在 $s_t$ 状态下就算你采取同一个 action，得到的 reward 也不见得是一样的。所以 $r_t$ 其实也是一个 random variable。但这个 random variable 它的 variance 会比 MC 方法中的 $G_a$ 还要小，因为 MC 方法中的 $G_a$ 是很多个不同的 step 的 reward 的和，而 TD 的$r_t$ 只是某一个 step 的 reward 而已，TD 中的 $r_t$ 的 variance 会比MC方法中的 $G_a$ 的 variance 小。
• TD 方法相比较MC方法出现的新问题是： $V^{\pi }(s_t)$ 不一定估的准确。如果 $V^{\pi }(s_t)$ 估的是不准的，那你 apply 这个式子 learn 出来的结果，其实也会是不准的。
• MC 跟 TD 它们是各有优劣。可以有一个MC 跟 TD 综合的版本，balance between MC and TD：Multi-step Experience Reply Buffer。
• 实践中，MC 跟TD 估出来的结果很有可能是不一样的。就算 Critic 观测到一样的 training data，MC 跟TD 最后估出来的结果，也不见得会是一样。
• MC 跟 TD是不同的方法，它考虑了不同的假设，最后会得到不同的运算结果。
• 实践中，其实 Temporal-difference(TD) approach 的方法是比较常用的，Monte-Carlo(MC) based approach 的方法其实是比较少用的。

2、State-Action value function $Q^{\pi }(s,a)$：同时考虑state $s$、action $a$

在使用 Actor $\pi$ 的情况下，观察到状态 $s_i$ 下强制采取某一个策略/action $a$ ( Actor $\pi$ 在状态 $s_i$ 下备选的策略/action不一定只有 $a$，可能还有 $b,c,d...$) ，从观察到状态 $s_i$的时刻直到该轮episode结束所能得到的累计Reward。When using actor $\pi$, the cumulated reward expects to be obtained after seeing observation $s$ and taking action $a$ until the end of this episode。

• $Q^{\pi }(s,a)$ 理论上它会有两个 input，$s$ 跟 $a$，$Q^{\pi }(s,a)$ 吃 $s$ 跟 $a$ 来决定说它要得到多少的分数

• 有时候我们会改写这个 Q function，假设你的 $a$ 策略/action 是可以穷举的，举例来说，在玩游戏的时候，$a$ 只有向左／向右，跟开火三个选择
• 我们的 Q function 是 input 一个 state s，它的 output 分别就是 $Q^{\pi }(s,a=left)$，$Q^{\pi }(s,a=right)$，$Q^{\pi }(s,a=fire)$
• 这样的好处就是，你只要输入一个 state s ，你就可以知道，s 配上，向左的时候，分数是多少，s 配上向右的时候，分数是多少，s 配上开火的时候，分数是多少。

三、Q-Learning：从 $Q^{\pi }(s,a)$ 中训练得到 Actor/Policy $\pi$

1、Policy Gradient 和 Q-Learning 的区别

• Q-learning通过将$(a_t,s_t)$输入Q function来求得对应的Q值：Q$(a_t,s_t)$,然后选择对应Q值最大的那个action。这个Q function可以是一张表，查阅Q表中相应的$(a_t,s_t)$即可得到相应的Q值；但是实际环境中$(a_t,s_t)$太多了，构造出所有组合的Q表不太现实。所以DQN使用一个神经网络来逼近Q function，从而达到输入一组$(a_t,s_t)$就可以得到相应Q值的目的。
• Q-learning中的agent如何去选择用哪一个action呢？在某一个state下，它求出有限action集合中所有action所对应的Q值，然后选择所对应Q值最大的那个action作为目标action。(具体实现时使用 ϵ−greed 策略而不是简单选取最大Q值)
• 而policy gradient如何选择action呢？它将state 输入一个policy 网络，直接预测目标action。这个policy网络通过long term reward的梯度反向传播，来更新policy网络的权重。这个long term reward就是一个关于reward的函数，表达一段时间内预期得到的奖励。
• 综上，Q-learning通过 $(a_t,s_t)$ 来计算Q值，再反过来选取对应最大Q值的那一个action作为目标action；而 policy gradient则是直接根据s­t­来计算最优的action。即：Q-learning中网络输出的是Q值，policy-gradient中网络输出的值是action。它们的区别就像生成类模型和判别类模型的区别(生成类模型先计算联合分布然后做出分类，而判别类模型直接根据后验分布进行分类)。
• Q-learning的缺点：由于Q-learning的做法是“选取一个使Q最大的action”：${\pi }^{\prime }(s)=\arg {\max }_a{Q}^{\pi }(s,a)$，因此这个action的取值空间通常是有限且离散的，Q-learning不太容易处理连续的 action，因为无法穷举所有可能的连续action（比如：自驾车的方向盘转的角度、机器人关节的扭转角度等）；而policy gradient则不存在这个问题，因为它通过policy模型根据state直接输出最优的action，那么这个action可以是任意连续的值。面对一个很大的action集合，Q-learning要计算很多遍Q值，即进行很多遍神经网络的前馈过程；相比之下，policy gradient的网络只需进行一遍网络的前馈，输出一个action值，然后与action集合中的各个值比较，选取最接近的那一个action即可。
• Q-learning 跟 Policy-Gradient 方法比起来更稳，Policy-Gradient 方法其实是没有太多游戏可以玩得起来的。所以 policy gradient 其实比较不稳，尤其在没有 PPO(Proximal Policy Optimization)之前很难用 policy gradient 做什么事情。

2、Critic和Q-Learning的区别

• Critic是只计算期望的reward，并不会根据这个reward选择action；
• 而 Q-Learning 则会根据估算出来的reward选择最大的那个reward对应的action。Used in Value-based Approach to learn an Actor/Policy π

3、Q-Learning更新Actor/Policy的过程

• 虽然表面上我们 learn 一个 Q function $Q^{\pi }(s,a)$ 只能拿来评估某一个 actor $\pi$的好坏，但是实际上只要有了这个 $Q^{\pi }(s,a)$，我们就可以做 reinforcement learning。
• 其实有这个 $Q^{\pi }(s,a)$ ，我们就可以决定要采取哪一个 action。
• 大致过程：假设你有一个初始的 actor $\pi$，也许一开始很烂，随机的也没有关系，用这个 actor $\pi$ 跟环境互动取样，接下来根据采样数据 learn 出 $\pi$ 这个 actor 的 $Q^{\pi }(s,a)$ 值， $Q^{\pi }(s,a)$ 值是衡量 $\pi$ 这个 actor 在某一个 state 强制采取某一个 action 会得到的 expected reward，可以用 TD方法也可以用 MC方法。
• 只要 $\pi$ 根据采样数据 learn 得出一个 $Q^{\pi }(s,a)$ ，就保证可以找到一个新的 ${\pi }^{\prime }$一定会比原来的 $\pi$ 更好。用 ${\pi }^{\prime }$ 将 $\pi$ 取代掉，然后继续找 ${\pi }^{\prime }$ 的 $Q^{\pi }(s,a)$，如此反复迭代，Actor $\pi$就会越来越好。
• 更好 的含义是指：对于任意一个state $s_i$，都满足： $V^{{\pi }^{\prime }}(s_i)\ge V^{\pi }(s_i)$，即当Actor的轨迹走到任意一个 $s_i$ 的时候，用 ${\pi }^{\prime }$ 继续跟环境互动下去得到的 Reward 都要大于等于用$\pi$ 继续跟环境互动下去得到的 Reward。
• 根据 $Q^{\pi }(s,a)$ 值 寻找 ${\pi }^{\prime }$ ：
  $${\pi }^{\prime }(s)=\arg \underset{a}{\max }{Q}^{\pi }(s,a)$$
• 根据 ${\pi }^{\prime }(s)=\arg {\max }_a{Q}^{\pi }(s,a)$ 决定 $\pi$ 的 action 的步骤，就是 ${\pi }^{\prime }$。即：当 $\pi$ 根据采样数据 learn 得出一个 $Q^{\pi }(s,a)$，则在某一个 state $s_i$ 状态时，把所有可能的 action $a_k$ 都分别代入 $Q^{\pi }(s,a)$ 这个 Function，可以让 $Q^{\pi }(s,a)$ 的值最大的 action $a_k$ 就是 ${\pi }^{\prime }$ 会采取的 action。可见，$\pi$ 在 state $s_i$ 状态时采取的 action $a_j$ 与 ${\pi }^{\prime }$ 在 state $s_i$ 状态时采取的 action $a_i$ 不一定一样。
• 所以实际上，根本就没有实现存在的叫做 ${\pi }^{\prime }$ 的 actor/policy，这个 ${\pi }^{\prime }$ 其实就是用 $Q^{\pi }(s,a)$ 这个 function 推出来的，所以并没有另外一个 network 决定 ${\pi }^{\prime }$ 如何与环境互动，我们只要能有 $Q^{\pi }(s,a)$ 就好，有 $Q^{\pi }(s,a)$ 就可以找出 ${\pi }^{\prime }$ 。所以说：${\pi }^{\prime }$ does not have extra parameters. It depends on $Q$。
• 公式 ${\pi }^{\prime }(s)=\arg {\max }_a{Q}^{\pi }(s,a)$ is not suitable for continuous action $a$。 因为离散型的 $a$ 可以分别代入 $Q^{\pi }(s,a)$ 来计算最大值。但是连续型的 $a$ 则无法使用该公式。

4、证明 $V^{{\pi }^{\prime }}(s)\ge V^{\pi }(s)$

• 当 $Q^{\pi }(s,a)$ 中的 $a$ 采取的 action/policy 是 $\pi (s)$ 的话，则：$V^{\pi }(s)=Q^{\pi }(s,\pi (s))$。

• $\text{∵}$ $\begin{array}{r}{Q}^{\pi }(s,\pi (s))\le \underset{a}{\max }{Q}^{\pi }(s,a)=Q^{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))\end{array}$

• $\text{∴}$ $V^{\pi }(s)\le Q^{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))$

• $\text{∴}$ 也就是说在某一个 state $s$，如果你按照 actor/policy $\pi$ 一直做下去得到的 reward 一定会小于等于在现在这个 state $s$不按照 $\pi$ 所给你指示的方向做下去，而是故意按照 ${\pi }^{\prime }$ 的方向走一步(只有在 state $s$ 这个地方的第一步按照 ${\pi }^{\prime }$ 的指示走，接下来的所有步骤还是按照原来的 $\pi$ 的指示走)，虽然只有一步之差，但是我们可以按照上面这个式子知道，这个时候得到的 Reward $Q^{\pi }(s,{\pi }^{\prime }(s))$ 一定会比完全 follow $\pi$ 得到的 Reward $Q^{\pi }(s,\pi (s))$ 还要大
  V π ( s ) ≤ Q π ( s , π ′ ( s ) ) = E [ V π ( s t ) ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) ] = V π ( s t ) = r t + 1 + V π ( s t + 1 ) E { [ r t + 1 + V π ( s t + 1 ) ] ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) } ≤ E { [ r t + 1 + Q π ( s t + 1 , π ′ ( s t + 1 ) ) ] ∣ s t = s , a t = π ′ ( s t ) } = E { [ r t + 1 + r t + 2 + V π ( s t + 2 ) ] ∣ . . . } ≤ E { [ r t + 1 + r t + 2 + Q π ( s t + 2 , π ′ ( s t + 2 ) ) ] ∣ . . . } . . . ≤ V π ′ ( s ) begin{aligned} V^π(s)≤Q^π(s,π'(s))&=E[V^π(s_t)|s_t=s,a_t=π'(s_t)]\ &xlongequal{V^π(s_t)=r_{t+1}+V^π(s_{t+1})} E{[r_{t+1}+color{violet}{V^π(s_{t+1})}color{black}{]|s_t=s,a_t=π'(s_t)}}\ &≤E{[r_{t+1}+color{violet}{Q^π(s_{t+1},π'(s_{t+1}))}color{black}{]|s_t=s,a_t=π'(s_t)}}\ &=E{[r_{t+1}+r_{t+2}+color{violet}{V^π(s_{t+2})}color{black}{]|...}}\ &≤E{[r_{t+1}+r_{t+2}+color{violet}{Q^π(s_{t+2},π'(s_{t+2}))}color{black}{]|...}}\ &...\ &≤V^{π'}(s) end{aligned} Vπ(s)≤Qπ(s,π′(s))​=E[Vπ(st​)∣st​=s,at​=π′(st​)]Vπ(st​)=rt+1​+Vπ(st+1​) E{[rt+1​+Vπ(st+1​)]∣st​=s,at​=π′(st​)}≤E{[rt+1​+Qπ(st+1​,π′(st+1​))]∣st​=s,at​=π′(st​)}=E{[rt+1​+rt+2​+Vπ(st+2​)]∣...}≤E{[rt+1​+rt+2​+Qπ(st+2​,π′(st+2​))]∣...}...≤Vπ′(s)​

• 由上述推导可见，只有一步之差，你会得到比较大的 reward。如果假设每步都是不一样的，每步通通都是 follow ${\pi }^{\prime }$ 而不是 $\pi$ 的话，那得到的 Reward 一定会更大。

四、Tips of Q-Learning

所有提到的Tips之间并不是冲突的，所以可以一起使用。

1、Target Network

• 在 learn $Q^{\pi }(s,a)$ 过程中，在 state $s_t$，你采取 action $a_t$ 以后得到 reward $r_t$，然后进入下一个 state $s_{t+1}$，根据 Temporal-difference(TD) approach 方法可知：$Q^{\pi }(s_t,a_t)=r_{t+1}+Q^{\pi }[s_{t+1},\pi (s_{t+1})]$。$Q^{\pi }(s_t,a_t)$ 与 $Q^{\pi }[s_{t+1},\pi (s_{t+1})$ 之间差了一项就是 $r_t$。
• 所以在 learn 的时候，就是将 $Q^{\pi }(s_t,a_t)$ function 输入 $[s_{t+1},\pi (s_{t+1})]$ 得到的值与输入 $(s_t,a_t)$ 得到的Output 之间的差尽可能接近$r_t$。
• 但是实际上在 learn 的时候，这样的一个 function 并不好 learn。因为假设这是一个 regression 的 problem，假设右边的 $Q^{\pi }$ 是target，你会发现你的 target 是会动的，training 会变得不太稳定。这种一直在变的 target 的 training 其实是不太好 train 的。
• 解决方案：
  • 先让Target Network 固定住，也就是说你在 training 的时候，你并不 update 这个 Target Network 的参数，只 update 左边 Target Network 的参数，而右边这个 Q 的参数，它会被固定住。target network 负责产生 target。因为 target network 是固定的，所以你现在得到的 target，也就是 $r_{t+1}+Q^{\pi }[s_{t+1},\pi (s_{t+1})]$ 的值也会是固定的。那我们只调左边这个 network 的参数。它就变成是一个 regression 的 problem。我们希望我们 model 的 output，它的值跟你的目标越接近越好，minimize 它的 mean square error 或 minimize 它们 L2 的 distance。问题就转换为 regression 问题。
  • 在实操上，一开始这两个 network 是一样的，先让Target Network 固定住，把左边的 Q update 好几次，再去把右边的 Target network 用 update 过的左边的 Q 替换掉。但它们两个不要一起动，他们两个一起动的话，结果会很容易坏掉。用 update 后的 Target network 再一次迭代训练左边的 Q。如此反复迭代。

2、Exploration

• 当我们使用 Q function 的时候，我们的 policy 完全 depend on 那个 Q function。given 某一个 state，你就穷举所有的 a，看看哪个 a 可以让 Q value 最大，它就是你采取的 policy。这样的话你采取的 action 总是固定的。这不是一个好的收集 data 的方式。
• 因为假设我们今天真的要估某一个 $Q^{\pi }(s,a)$，比如在某一个 state $s$，你可以采取的 action 有 $a_1,a_2,a_3$。你要估测在某一个 state 采取某一个 action 会得到的 Q value，你一定要在那一个 state $s$ 采取过那一个 action $a_i$你才估得出它的 value $Q^{\pi }(s,a_i)$，但是如果你没有在那个 state $s$采取过那个 action $a_i$，你其实估不出那个 action 的 value $Q^{\pi }(s,a_i)$。
• 所以今天假设你在某一个 state $s$，action $a_1,a_2,a_3$ 你都没有采取过，那你估出来的 $(s,a_1)(s,a_2)(s,a_3)$ 的 Q value $Q^{\pi }(s,a_i)$ 可能就都是一样的，就都是一个初始值，比如说 0。但是假设你在 state $s$ sample 过 action $a_2$ 了，它得到的值是 positive 的 reward，那么 $Q^{\pi }(s,a_2)$ 就会比其他的 action 的 reward 都要好。因为 Q-Learning 在采取 action 的时候，就看说谁的 Q value 最大就采取谁，所以之后你永远都只会 sample 到 $a_2$，其他的 action 就再也不会被做了。
• 解决方案：
  • exploration 的机制：需要让 machine 知道说，虽然 $a_2$根据之前 sample 的结果，好像是不错的，但你至少偶尔也试一下 $a_1$ 跟 $a_3$，说不定他们会更好。
  • 有两个方法解这个问题，一个是 Epsilon Greedy，另外一个方法叫做 Boltzmann Exploration。
  • Epsilon Greedy 的意思是说，我们有 $1-\epsilon$ 的机率，通常 $\epsilon$ 设一个很小的值，$1-\epsilon$ 可能是 90%，也就是 90% 的机率，完全按照 Q function 来决定 action；但是你有 10% 的机率是随机的。通常在实作上 $\epsilon$会随着时间递减，也就是在最开始的时候，因为还不知道那个 action 是比较好的，所以你会花比较大的力气在做 exploration。那接下来随着 training 的次数越来越多，已经比较确定说哪一个 Q 是比较好的，你就会减少你的 exploration，你会把 $\epsilon$ 的值变小，主要根据 Q function 来决定你的 action，比较少做 random。
  • Boltzmann Exploration，这个方法就比较像是 policy gradient。在 policy gradient 里面我们说 network 的 output 是一个根据 expect(ed) action space 上面的一个 probability distribution，再根据 probability distribution 去做 sample。那其实你也可以根据 Q value 去定一个 probability distribution，假设某一个 action，它的 Q value 越大，代表它越好，那我们采取这个 action 的机率就越高，但是某一个 action 它的 Q value 小，不代表我们不能试试看它好不好用。所以我们有时候也要试试那些 Q value 比较差的 action。因为 Q value 它是有正有负的，所以你要把它弄成一个机率，你可能就先取 exponential，然后再做 normalize，然后把 $Q(s,a)$ 指数化，然后再做 normalize，得到的这个机率就当作是你在决定 action 的时候 sample 的机率。

3、Noisy Net（Improved Exploration）

3.1 Epsilon Greedy（Action Space Noise）

• Epsilon Greedy 里面，是在 action 上加 noise。就算是给同样的 state，agent 采取的 action，也不一定是一样的。因为你是用 sample 决定的，given 同一个 state，你如果 sample 到 Q function 的 network，你会得到一个 action；你 sample 到 random，你会采取另外一个 action。
• 所以 given 同样的 state，如果你今天是用 Epsilon Greedy 的方法，它得到的 action，是不一样的。但是实际上在一个真实世界的 policy，给同样的 state，他应该会有同样的响应，而不是给同样的 state，它有时候吃 Q function，有时候又是随机的。所以这是一个比较奇怪的，不正常的 action，是在真实的情况下不会出现的 action。
• Epsilon Greedy 是 noisy 的 action，你只是随机胡乱地 explore 这个环境；

3.2 Noisy Net（Parameter Space Noise）

• Noisy Net里面，是在 Q function 的 network 的 参数 上加 noise，那在整个互动的过程中，在同一个 episode 里面，它的 network 的参数总是固定的，所以看到同样的 state，或是相似的 state，就会采取同样的 action，那这个是比较正常的。这个叫做 state-dependent exploration。也就是说你虽然会做 explore 这件事，但是你的 explore 是跟 state 有关系的。看到同样的 state，你就会采取同样的 exploration 的方式。也就是说你在 explore 你的环境的时候，你是用一个比较 consistent 一致的方式去测试这个环境。
• Noisy Net 是在参数下加 noise，那在同一个 episode 里面参数是固定的，那你就是有系统地在尝试。每次会试说，在某一个 state，我都向左试试看，然后再下一次在玩这个同样游戏的时候，看到同样的 state，你就说我再向右试试看，你是有系统地 explore 这个环境。

Action Space Noise	Parameter Space Noise

4、Experience Replay Buffer（经验池）

• replay buffer 的意思是说：现在我们会有某一个 policy pi 去跟环境做互动，然后它会去收集 data，我们会把所有的 data 放到一个 buffer 里面，那 buffer 里面就排了很多 data，那你 buffer 设比如说5 万，这样它里面可以存 5 万笔数据。
• 每一笔数据就是记得是之前在某一个 state $s_t$ 采取某一个 action $a_t$，接下来我们得到的 reward $r_t$，然后接下来跳到 state $s_{t+1}$ 这么一个过程。
• $\pi$ 跟环境互动很多次，把所有收集到的数据通通都放到这个 replay buffer 里面，这个 replay buffer 它里面的 experience 可能是来自于不同的 actor/policy $\pi$，因为每次拿 $\pi$ 去跟环境互动的时候，你可能只互动 10,000 次，然后接下来你就更新 $\pi$ 了，但是你的这个 buffer 里面可以放 5 万笔数据，所以那 5 万笔数据，它们可能是来自于不同更新程度的 $\pi$。
• buffer 只有在它装满的时候才会把旧的资料丢掉。所以这个 buffer 里面它其实装了很多不同更新程度的 actor/policy $\pi$ 所计算出来的不同的 $\pi$ 的 experiences。
• 就跟一般的 network training 一样，从这个 buffer 里面随机挑一个 batch 出来，里面有一把的 experiences，根据这把 experiences 去 update 你的 Q function。
• 实际上存在你的 replay buffer 里面的这些experiences 不是通通来自于 某一个更新程度的 $\pi$，有些是过去其他更新程度的 $\pi$所遗留下来的 experience，因为你不会拿某一个 $\pi$ 就把整个 buffer 装满去测 Q function。这个 $\pi$ 只是 sample 了一些 data塞到那个 buffer 里面去，然后接下来就让 Q 去 train。所以 Q 在 sample 的时候，它会 sample 到过去的一些数据。这么做有两个好处：
  • 第一个好处：其实在做 reinforcement learning 的时候，往往最花时间的 step是在跟环境做互动，train network 反而是比较快的，因为你用 GPU train 其实很快。replay buffer的使用 可以减少跟环境做互动的次数，因为今天你在做 training 的时候，你的 experience 不需要通通来自于某一个 actor/policy $\pi$，一些过去的 actor/policy $\pi$ 所得到的 experience可以放在 buffer 里面被使用很多次，被反复的再利用，这样让你的 sample 到 experience 的利用是比较 efficient。
  • 第二个好处：在 train network 的时候，其实我们希望一个 batch 里面的 data越 diverse 越好。如果你的 batch 里面的 data 通通都是同样性质的，你 train 下去，其实是容易坏掉的。如果你 batch 里面都是一样的 data，你 train 的时候，performance 会比较差，所以我们希望 batch data 越 diverse 越好。如果这个 buffer 里面的那些 experience 通通来自于不同的 policy 的话，那 sample 到的一个 batch 里面的 data 会是比较 diverse 的。
  • 但是接下来你会问的一个问题是：我们明明是要观察最新更新的 $\pi$ 的 value，里面混杂了一些不是最新更新的 $\pi$ 的 experience，到底有没有关系？一个很简单的解释，也许这些不同更新程度的 $\pi$ 也没有差别那么多，所以也没有关系，就算过去的 $\pi$ 和最新更新的 $\pi$ 根本不想其实也是没有关系的，今天主要的原因是因为，我们并不是去 sample 一个 trajectory，我们只是 sample 了一笔 experience。

5、Prioritized Experience Reply Buffer

• The data with larger TD error in previous training has higher probability to be sampled.
• 我们原来在 sample data 去 train 你的 Q-network 的时候，你是 uniformly 地从 buffer 里面去 sample data。那这样不见得是最好的，因为也许其中有一些 data 比其他data更加重要，比如做不好的那些 data。假设有一些 data，你之前有 sample 过，而且那一笔 data 的 TD error（所谓 TD error 就是 network 的 output 跟 target 之间的差距）特别大，那一笔 data 说明你在 train network 的时候是 train 的不好。既然比较 train 不好，就应该给它比较大的机率被 sample 到。所以这样在 training 的时候才会考虑那些 train 不好的 training data 多次一点。
  

6、Multi-step Experience Reply Buffer

• MC 跟 TD 的方法各自有各自的优劣，我们怎么在 MC 跟 TD 里面取得一个平衡呢？使用 “Multi-step Experience Reply Buffer”。
• 在 “Experience Replay Buffer” 里面的每一个 Experience保存的是 “在某一个 state $s_t$ 采取某一个 action $a_t$，得到 reward $r_t$，接下来跳到 state $s_{t+1}$”。
• “Multi-step Experience Reply Buffer” 里的每一个 Experience 保存的不只是一个 step 的 data，而是 $N$ 个 step 的 data：“在 $s_t$ 采取 $a_t$，得到 $r_t$，跳到 $s_t$，一直纪录到在第 $N$ 个 step 以后，在 $s_{t+N}$ 采取 $a_{t+N}$ 得到 reward $r_{t+N}$”，即从 $s_t$ 跳到 $s_{t+N+1}$ 的这个经验，通通把它存下来。
• 利用 “Multi-step Experience Reply Buffer” 在做 Q network learning 的时候，要让 $Q(s_t,a_t)$ 跟你 target value 越接近越好。而 target value 是把从时间 $t$ 一直到 $t+N$ 的 $N$ 个 reward 通通都加起来。$\hat{Q}$ 所计算的，不是 $s_{t+1}$ 状态下的 Q 值，而是 $s_{t+N+1}$ 状态下的 Q 值。希望 $Q(s_t,a_t)$ 的 target value 跟 $s_{t+1}$ 加上从$s_t$ 到 $s_{t+N+1}$ 这些步骤的 reward 越接近越好。
• “Multi-step Experience Reply Buffer” 就是 MC 跟 TD 的结合，它就有 MC 的好处跟坏处，也有 TD 的好处跟坏处。
• 好处：因为我们现在 sample 了比较多的 step，之前是只 sample 了一个 step，所以某一个 step 得到的 data 是 real 的，但是接下来都是 Q value 估测出来的。现在 sample 比较多 step，sample $N$ 个 step 后才估测 value，所以估测的部分所造成的影响就会比较轻微。
• 坏处：它的坏处就跟 MC 的坏处一样，因为有 $N$ 项 reward 相加，variance 就会比较大，但是可以去调这个 $N$ 的值，取得一个平衡。
  这就是一个 hyper parameter，你要调这个 $N$ 到底是多少(比如：sample 三步还是五步)。
  

7、Distributional Q-function

• 状态-行动价值函数 $Q^{\pi }(s,a)$ 是累积收益的期望值，也就是说是价值分布的均值。然而，有的时候不同的分布得到的均值可能一样，但我们并不知道实际的分布是什么。
• Distributional Q-function认为DQN输出的只是 $Q^{\pi }(s,a)$ 的期望，而直接输出分布可能会更好。
• 如果我们知道了 $Q^{\pi }(s,a)$ 的分布，在决策的时候就有更多的选择。例如我们可以在同样的期望的情况下，根据策略更稳健还是更投机选择不同的策略。
• 让模型输出分布，需要给定每一个 $Q^{\pi }(s,a)$ 的上下界，然后类似柱状图一样输出每一个区间的概率。
• Distributional Q-function 认为可以输出 $Q^{\pi }(s,a)$ 值的分布，当具有相同的均值时，选择具有较小方差（风险）的那一个。但实践中这个方法很难付诸实践。
• 使用 Distributional Q-function 不会有 over-estimate的现象，反而有 under-estimate的现象。因为设定的分布范围一般比较窄，所以会忽略掉一些极端值。
  
  A Distributional Perspective on Reinforcement Learning
  

8、Rainbow

• 把刚才所有的方法都综合起来一起使用就变成 rainbow方法。
  

五、Q-Learning算法

六、处理连续型actions

$$a=\arg \underset{a}{\max }{Q}^{\pi }(s,a)$$

1、使用Q-Learning

2、使用 Actor+Critic，不使用Q-Learning

参考资料：
Human-level control through deep reinforcement learning
强化学习—DQN算法原理详解
什么是 DQN (强化学习)
DQN（Deep Q-learning）入门教程（一）之强化学习介绍
强化学习系列之九:Deep Q Network (DQN)
Better Exploration with Parameter Noise
A Distributional Perspective on Reinforcement Learning
Rainbow: Combining Improvements in Deep Reinforcement Learning

最后

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