Codeforces403D - Beautiful Pairs of Numbers - 组合数学、dp

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我是靠谱客的博主调皮咖啡，最近开发中收集的这篇文章主要介绍Codeforces403D - Beautiful Pairs of Numbers - 组合数学、dp，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

D. Beautiful Pairs of Numbers

分类： combinatorics dp

Description

定义这一类数对 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),cdots,(a_k,b_k)$ 是美丽的，当它满足：

$1leq a_1leq b_1<a_2leq b_2<cdots<a_kleq b_kleq n$ ，其中 $、n、k (1leq n,kleq 1000)$ 是给定的整数。
所有的 $b_1-a_1,b_2-a_2,cdots,b_k-a_k$ 都各不相同。

询问方案数，答案取模 $10^9+7$ 。

Solution

首先这个序列的长度不会大于50，因为 $sumlimits_{i=0}^{50}i>1000$ ，假设 $c_i=b_i-a_i+1$ ，其中 $c_i$ 表示第 $i$ 段的长度，变无序为有序（这样有利于设计动态规划子结构）使得 $c_1<c_2<cdots<c_i,c_ige 1$ ，而且有 $sumlimits_{i=1}^k c_ile n$ ，考虑动态规划统计 $C$ 的方案数，假设 $f(i,j)$ 表示 $C$ 长度为 $i$ 段，且 $sumlimits_{k=1}^i c_k = j$ 的方案数，那么它可以转移到 $f(i,j+i)$ 和 $f(i+1,j+i+1)$ ，也就是要么把这一整个 $C$ 的每个元素 $+1$ （这样才能保证有序性成立），或者在它完成这个操作以后在前头补一个 $c_0=1$ 变成 $i+1$ 段的方案数。当然这样算的是已知 $sum C=len$ 的排列数，那么原区间长度是 $n$ 因此还有 $n-len$ 个空缺位置，我们要把他插入到 $C$ 中，这样的方案数是 $binom{n-len+k}{k}$ ，可以枚举这个 $len$ 算出最后 $C$ 的答案。注意我们一开始是考虑 $C$ 有序得到的，因此最后答案还要乘上 $k!$ 表示 C <script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">C</script> 的排列方案数。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
typedef long long ll;
const int maxm = 1e3 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
/* head */
ll C[maxm][maxm], fac[maxm], f[maxm][maxm];
inline void init() {
    fac[0] = 1;
    rep(i, 1, maxm - 4) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    C[0][0] = 1;
    rep(i, 1, maxm - 4) {
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        rep(j, 1, i) {
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % mod;
        }
    }
    f[0][0] = 1; // length = i, group = j
    rep(i, 1, maxm - 4) {
        rep(j, 1, i + 1) f[i][j] = (f[i - j][j] + f[i - j][j - 1]) % mod;
    }
}
inline void solve() {
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    ll ans = 0;
    rep(len, k * (k + 1) / 2, n + 1) ans = (ans + f[len][k] * C[n - len + k][k]) % mod;
    printf("%lldn", ans * fac[k] % mod);
}
int main() {
    init();
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) solve();
    return 0;
}