矩阵分析与多元统计II 二次型与二次曲面3 二次型及其标准形的定义

上一讲我们讨论了二次齐次函数、对称双线性函数之间的一一对应关系，这一讲我们从多项式的角度讨论二次齐次函数，给出二次型的概念及其标准形；下一讲介绍计算二次型的标准形的方法；下下讲介绍二次型的规范形；下下下讲介绍正定二次型；然后分别介绍二次型在分析中的应用、在解析几何中的应用。

定义1 $V$是数域$F$上的线性空间，$\forall x=(x_1,\cdots ,x_n{)}^{\prime }\in V$, 称二次齐次多项式
$$f(x)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}{x}_i^2+2\sum _{i<j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

为$F$上的一个$n$元二次型。当$i<j$时，
$$2a_{ij}{x}_i{x}_j=a_{ij}{x}_i{x}_j+a_{ij}{x}_j{x}_i$$

令$a_{ij}=a_{ji}$，
$$f(x)=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{\prime }Ax$$

其中$A=[a_{ij}{]}_{n\times n}$是一个对称矩阵，称$A$为二次型的矩阵。

定义2 假设$\exists C$, $x=Cy$，则称$y$是$x$的一组线性替换，如果$\det C\ne 0$，就称这个线性替换是非退化的。

定理1
1）假设$f(x),g(y)$是两个二次型，存在非退化的线性替换使得$f(x)=g(y)$的充要条件是它们的矩阵合同；
2）对任意二次型$f(x)$，存在非退化的线性替换使得
$$f(x)=\sum _{i=1}^n{d}_i{y}_i^2$$

定义3 称上式为二次型的标准形。下一讲介绍计算标准形的方法，这一讲剩余内容讨论定理1的证明。

证明定理1
记$A,B$为$f(x),g(y)$的矩阵。

评注1 矩阵的合同，假设$A,B$合同，则存在可逆矩阵$C$使得
$$C^{\prime }AC=B$$

记为$A\simeq B$，可以验证合同关系是一种等价关系。

证明1)
必要性：假设存在非退化的线性替换$x=Cy$，则
$$f(x)=x^{\prime }Ax=(Cy{)}^{\prime }A(Cy)=y^{\prime }(C^{\prime }AC)y=y^{\prime }By=g(y)$$

因此$A\simeq B$；

充分性：假设$A\simeq B$，存在可逆矩阵$C$，使得$C^{\prime }AC=B$，从而
$$g(y)=y^{\prime }By=y^{\prime }{C}^{\prime }ACy=(Cy{)}^{\prime }A(Cy)=x^{\prime }Ax=f(x)$$

如果$x=Cy$，显然$f(x)=g(y)$。

证明2) 根据下面的引理，结合1）可以得出2）成立。
引理 对称矩阵与(唯一的)对角矩阵合同。我们简单证明一下这个引理。
根据谱定理（讨论矩阵分解时介绍，这是谱分解的基础），对任意Hermite矩阵$A$，存在由它的特征向量组成的标准正交基$V$，以及代数重数为1的实特征值，记$\Lambda$为一个对角阵，对角元为$A$的特征值，则
$$V^{-1}AV=\Lambda =V^{\prime }AV$$

因此$A$与(唯一)对角阵合同。

最后

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