概述
导航
- 基本原理
- 对数正态分布的随机变量模拟
- 案例
- 欧式期权定价
- 案例
- 对冲参数计算
- 案例
- 参考资料
基本原理
在风险中性的世界里，首先随机产生标的资产价格的可能路径，并由此计算期权收益的期望值，然后再以无风险利率贴现计算价格.
考虑某个与标的变量
θ
theta
θ相关的衍生证券，该衍生证券在时刻
T
T
T产生收益，如果利率为常数，计算衍生证券价格步骤如下：
- 在风险中性世界对变量 θ theta θ进行路径模拟.
- 计算衍生证券的收益.
- 多次模拟，计算均值近似衍生证券的价格
- 贴现计算
设风险中性世界中标的变量
θ
theta
θ服从标准差为
s
s
s，预期收益率为
m
˘
breve{m}
m˘的几何布朗运动
d
θ
=
m
˘
θ
d
t
+
s
θ
ε
d
t
dtheta=breve{m}theta dt+sthetavarepsilonsqrt{dt}
dθ=m˘θdt+sθεdt
离散化方程得到
Δ
θ
=
m
˘
θ
Δ
t
+
s
θ
ε
Δ
t
Deltatheta=breve{m}thetaDelta t+sthetavarepsilonsqrt{Delta t}
Δθ=m˘θΔt+sθεΔt
如果存在多个标的变量，定义
s
i
s_i
si为标准差，
m
^
i
hat{m}_i
m^i是风险中性世界中的预期收益率
ρ
i
j
rho_{ij}
ρij是
θ
i
theta_i
θi和
θ
j
theta_j
θj的瞬间相关系数，
θ
i
theta_i
θi的离散过程形式为
Δ
θ
i
=
m
^
i
θ
i
Δ
t
+
s
i
θ
i
ε
i
Δ
t
Delta theta_i=hat{m}_itheta_iDelta t+s_itheta_ivarepsilon_isqrt{Delta t}
Δθi=m^iθiΔt+siθiεiΔt
每次模拟需要从多维标准正态分布中随机抽取
ε
i
(
1
≤
i
≤
n
)
varepsilon_i(1leq ileq n)
εi(1≤i≤n)的
N
N
N个样本.
对数正态分布的随机变量模拟
对标的变量
S
S
S的对数
ln
S
ln S
lnS的抽样一般比对
S
S
S的直接抽样更加精确，由伊藤引理得到
d
ln
S
=
(
r
−
σ
2
2
)
d
t
+
σ
ε
d
t
dln S=(r-frac{sigma^2}{2})dt+sigmavarepsilonsqrt{dt}
dlnS=(r−2σ2)dt+σεdt
离散形式为
ln
S
t
+
1
−
ln
S
t
=
(
r
−
σ
2
2
)
Δ
t
+
σ
ε
Δ
t
ln S_{t+1}-ln S_{t}=(r-frac{sigma^2}{2})Delta t+sigmavarepsilonsqrt{Delta t}
lnSt+1−lnSt=(r−2σ2)Δt+σεΔt
可以计算出
S
T
=
S
t
exp
[
(
r
−
σ
2
2
)
(
T
−
t
)
+
σ
ϵ
T
−
t
]
S_T=S_texp[(r-frac{sigma^2}{2})(T-t)+sigmaepsilonsqrt{T-t}]
ST=Stexp[(r−2σ2)(T−t)+σϵT−t]
案例
假设标的资产当前价格为10，无风险利率为
1
%
1%
1%，年波动率为
30
%
30%
30%，距离下一时刻6个月，计算下一时刻资产的价格.
解析：
由
S
t
=
10
,
r
=
0.01
,
σ
=
0.3
,
σ
=
0.3
,
Δ
t
=
0.5
S_t=10, r=0.01, sigma=0.3, sigma=0.3, Delta t=0.5
St=10,r=0.01,σ=0.3,σ=0.3,Δt=0.5计算得到
S
t
+
1
=
S
t
exp
[
(
r
−
σ
2
2
)
Δ
t
+
σ
ε
Δ
t
]
S_{t+1}=S_texp[(r-frac{sigma^2}{2})Delta t+sigmavarepsilonsqrt{Delta t}]
St+1=Stexp[(r−2σ2)Δt+σεΔt]
cpp代码：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iomanip>
#include<random>
#include<map>
using namespace std;
const double pi=3.1415926;
default_random_engine dre; // 随机数引擎
const int N=10000;
double rv(){
normal_distribution<double> nd;
double ans=0.00;
for(int i=0; i<N; ++i) ans+=nd(dre)/N;
return ans;
}
double simulate_rv(const double &S, const double &r, const double &sigma, const double &tm){
double R=(r-0.5*pow(sigma, 2))*tm;
double SD=sigma*sqrt(tm);
return S*exp(R+SD*rv());
}
int main(){
double S=10;
double r=0.01;
double sigma=0.3;
double tm=0.5;
cout<<"下一时刻资产的价格："<<simulate_rv(S, r, sigma, tm)<<endl;
}
python代码
from scipy.stats import norm as N
from scipy.stats import multivariate_normal as mvn
from math import log, exp, pi
import numpy as np
def sample():
n=1000
return np.sum(np.random.normal(0, 1, size=n))/n
def sim_price(S, r, sigma, tm):
return S*exp((r-sigma**2/2)*tm+sigma*sqrt(tm)*sample())
print('下一时刻资产标的价格为 {}'.format(sim_price(10, 0.01, 0.3, 0.5)))
欧式期权定价
对于标的资产价格为
S
0
S_0
S0，行权价格为
K
K
K的欧式看涨期权，在期权到期日
T
T
T的价格为
c
T
=
max
{
0
,
S
T
−
K
}
c_T=max{0, S_T-K}
cT=max{0,ST−K}
在风险中性世界中，使用无风险利率
r
r
r进行贴现，得到期权在
t
t
t时刻的价格为
c
t
=
e
−
r
(
T
−
t
)
E
(
max
{
0
,
S
T
−
K
}
)
c_t=e^{-r(T-t)}mathbb{E}(max{0, S_T-K})
ct=e−r(T−t)E(max{0,ST−K})
使用模拟算法计算得到欧式看涨期权价格
c
^
t
=
e
−
r
(
T
−
t
)
n
∑
i
=
1
n
E
(
max
{
0
,
S
T
i
−
K
}
)
hat{c}_t=frac{e^{-r(T-t)}}{n}sum_{i=1}^nmathbb{E}(max{0, S_{T_i}-K})
c^t=ne−r(T−t)i=1∑nE(max{0,STi−K})
欧式看跌期权价格
p
^
t
=
e
−
r
(
T
−
t
)
n
∑
i
=
1
n
E
(
max
{
K
−
S
T
i
,
0
}
)
hat{p}_t=frac{e^{-r(T-t)}}{n}sum_{i=1}^nmathbb{E}(max{K-S_{T_i}, 0})
p^t=ne−r(T−t)i=1∑nE(max{K−STi,0})
案例
考虑不支付红利股票的欧式看涨期权和看跌期权，它们的标的资产价格是100，行权价格是100，无风险利率是10%，年波动率是25%，期权有效期为1年，使用BS公式和蒙特卡洛模拟计算价格
解析：
可得
S
=
100
,
K
=
100
,
r
=
10
%
,
σ
=
25
%
,
T
−
t
=
1
S=100, K=100, r=10%, sigma=25%, T-t=1
S=100,K=100,r=10%,σ=25%,T−t=1
模拟标的资产价格路径
S
T
i
=
S
t
exp
[
(
r
−
σ
2
2
)
(
T
−
t
)
+
σ
ε
T
−
t
]
S_{T_i}=S_texp[(r-frac{sigma^2}{2})(T-t)+sigmavarepsilonsqrt{T-t}]
STi=Stexp[(r−2σ2)(T−t)+σεT−t]
抽取样本
ε
varepsilon
ε，计算
S
T
i
S_{T_i}
STi，计算
max
{
0
,
S
T
i
−
K
}
max{0, S_{T_i}-K}
max{0,STi−K}或者
max
{
K
−
S
T
i
,
0
}
max{K-S_{T_i}, 0}
max{K−STi,0}， 多次模拟计算均值进行近似
cpp计算代码
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iomanip>
#include<random>
#include<map>
using namespace std;
const double pi=3.1415926;
default_random_engine dre; // 随机数引擎
normal_distribution<double> nd; // 标准正态分布
const int n=5000000; // 模拟次数
double N(const double &x){
if(x>6.0) return 1.0;
if(x<-6.0) return 0.0;
double b1=0.31938153;
double b2=-0.356563782;
double b3=1.781477937;
double b4=-1.821255978;
double b5=1.330274429;
double p=0.2316419;
double c=1.0/sqrt(2*pi);
double a=fabs(x);
double k=1.0/(1+a*p);
double b=c*exp(-pow(x, 2)/2.0);
double n=((((b5*k+b4)*k+b3)*k+b2)*k+b1)*k;
n=1.0-b*n;
if(x<0.0) n=1.0-n;
return n;
}
void BSprice(const double& S, const double& K, const double& r, const double& sigma, const double& tm){
double d1=(log(S/K)+(r+pow(sigma, 2)/2))/(sigma*sqrt(tm));
double d2=d1-sigma*sqrt(tm);
double c=S*N(d1)-K*exp(-r*tm)*N(d2);
double p=K*exp(-r*tm)*N(-d2)-S*N(-d1);
cout<<"BS公式计算欧式看涨期权："<<c<<endl;
cout<<"BS公式计算欧式看跌期权："<<p<<endl;
}
void simulate_rv(const double &S, const double &K, const double &r, const double &sigma, const double &tm){
double R=(r-0.5*pow(sigma, 2))*tm;
double SD=sigma*sqrt(tm);
double call_price=0.00;
double put_price=0.00;
for(int i=0; i<n; ++i){
double ST=S*exp(R+SD*nd(dre));
call_price+=max(ST-K, 0.00)/n;
put_price+=max(K-ST, 0.00)/n;
}
cout<<"模拟法计算看涨期权价格为："<<call_price*exp(-r*tm)<<endl;
cout<<"模拟法计算看跌期权价格为："<<put_price*exp(-r*tm)<<endl;
}
int main(){
double S=100, K=100, r=0.1, sigma=0.25, tm=1;
simulate_rv(S, K, r, sigma, tm);
BSprice(S, K, r, sigma, tm);
}
对冲参数计算
欧式看涨期权的
Δ
Delta
Δ是其他变量不变时，期权价格对标的资产价格的一阶偏导数
Δ
=
f
(
S
+
q
,
K
,
r
,
σ
,
T
−
t
)
−
f
(
S
,
K
,
r
,
σ
,
T
−
t
)
q
Delta=frac{f(S+q,K,r,sigma,T-t)-f(S,K,r,sigma,T-t)}{q}
Δ=qf(S+q,K,r,σ,T−t)−f(S,K,r,σ,T−t)
案例
分别使用BS公式和模拟法计算上例中的
Δ
Delta
Δ.
解析：
根据公式
S
T
=
S
t
exp
[
(
r
−
σ
2
2
)
(
T
−
t
)
+
σ
ε
T
−
t
]
S
T
′
=
(
S
t
+
q
)
exp
[
(
r
−
σ
2
2
)
(
T
−
t
)
+
σ
ε
T
−
t
]
S_T=S_texp[(r-frac{sigma^2}{2})(T-t)+sigmavarepsilonsqrt{T-t}]\ S_T'=(S_t+q)exp[(r-frac{sigma^2}{2})(T-t)+sigmavarepsilonsqrt{T-t}]
ST=Stexp[(r−2σ2)(T−t)+σεT−t]ST′=(St+q)exp[(r−2σ2)(T−t)+σεT−t]
取
q
=
0.01
S
t
q=0.01S_t
q=0.01St进行模拟.
c++计算代码
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iomanip>
#include<random>
#include<map>
using namespace std;
const double pi=3.1415926;
default_random_engine dre; // 随机数引擎
normal_distribution<double> nd; // 标准正态分布
const int n=50000; // 模拟次数
double N(const double &x){
if(x>6.0) return 1.0;
if(x<-6.0) return 0.0;
double b1=0.31938153;
double b2=-0.356563782;
double b3=1.781477937;
double b4=-1.821255978;
double b5=1.330274429;
double p=0.2316419;
double c=1.0/sqrt(2*pi);
double a=fabs(x);
double k=1.0/(1+a*p);
double b=c*exp(-pow(x, 2)/2.0);
double n=((((b5*k+b4)*k+b3)*k+b2)*k+b1)*k;
n=1.0-b*n;
if(x<0.0) n=1.0-n;
return n;
}
double BS_delta(const double& S, const double& K, const double& r, const double& sigma, const double& tm){
double d1=(log(S/K)+(r+pow(sigma, 2)/2))/(sigma*sqrt(tm));
return N(d1);
}
double simulate_delta(const double &S, const double &K, const double &r, const double &sigma, const double &tm){
double R=(r-0.5*pow(sigma, 2))*tm;
double SD=sigma*sqrt(tm);
double call=0.00;
double call_q=0.00;
double q=S*0.01;
for(int i=0; i<n; ++i){
double Z=nd(dre);
double ST=S*exp(R+SD*Z);
call+=max(ST-K, 0.00)/n;
double STq=(S+q)*exp(R+SD*Z);
call_q+=max(STq-K, 0.00)/n;
}
call=exp(-r*tm)*call;
call_q=exp(-r*tm)*call_q;
return (call_q-call)/q;
}
int main(){
double S=100, K=100, r=0.1, sigma=0.25, tm=1;
double bs_delta=BS_delta(S, K, r, sigma, tm);
double sim_delta=simulate_delta(S, K, r, sigma, tm);
cout<<"BS公式计算Delta："<<bs_delta<<endl;
cout<<"模拟法计算Delta: "<<sim_delta<<endl;
}
参考资料
金融资产定价理论与数值计算 北京大学出版社 田文昭
最后
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