漫步微积分八——多项式求导

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我是靠谱客的博主调皮野狼，最近开发中收集的这篇文章主要介绍漫步微积分八——多项式求导，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

微分学有其自身的独特性和重要性，已被应用到物理、生物和社会科学中。它能够快速渗入到应用中，并得到问题的核心。然而，从整体效率的角度看，它的具体内容推迟一下，我们先花一点时间学习如何快速而准确的求导。

我们已经知道，对函数求导的过程称作微分。这个过程直接依赖于导数的极限定义，
$f'(x)=lim_{Delta xto 0}frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x},$

或等价的
$frac{dy}{dx}=lim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}$

我们看到这种方法非常慢而且麻烦。现在我们的目的就是建立一些法则，利用他们可以快速求导大部分函数。本篇以及之后的几篇文章，我们会学到在完全不考虑极限的情况下，如何计算多项式的导数；即便是类似下面棘手的代数函数，我们也能轻松应对
$frac{x}{sqrt{x^2+1}},qquad left[frac{x+sqrt{x+1}}{x-sqrt{x+1}}right]^{1/3},qquad sqrt{1+sqrt{1+sqrt{1+x}}}.$

我们还将学习如何对三角函数求导。目前阶段，我们的目标是培养计算技能，这种技能只能通过实践得到。在没有实践的情况下，我们不可能学会如何拼写，或滑雪，或演奏乐器，正是在实践中不断发现问题，纠正问题，最终拥有相应的技能。微分也不例外。

回顾一下， $x$ 的多项式就是常数乘以 $x$ 幂次方的和。幂可以是零或一个正数：
$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0.$

多项式由一些简单的部分拼凑起来的方式启发我们对求导法则的讨论：

1.常数的导数是零
$d d x c = 0 frac{d}{dx}c=0$

这个命题的几何意义是一条水平直线 $y = f (x) = c$ 斜率是零。为了根据定义证明该命题，我们注意到 $Δ y = f (x + Δ x) - f (x) = c - c = 0$ ，所以
$frac{dy}{dx}=lim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{0}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}0=0.$

2.如果 $n$ 是一个正数，那么
$frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}.$

用语言来描述就是， $x^n$ 的导数是指数 $n$ 作为系数，指数减1作为新的指数。前面的文章中我们已经知道了三个具体的例子：
$frac{d}{dx}x^2=2x,quad frac{d}{dx}3x^2=6x,quad frac{d}{dx}x^4=4x^3.$

为了证明通用性，对于 $y=f(x)=x^n$ ，我们利用二项式定理的

begin{eqnarray*}
Delta y
&=&f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^n-xn
&=&left[x^n+nx{n-1}Delta x+frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}(Delta x)^2+cdots +(Delta x)^nright]-xn
&=&nx^{n-1}Delta x+frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}(Delta x)^2+cdots +(Delta x)^n
end{eqnarray*}
据此可以得出
begin{eqnarray*}
frac{dy}{dx}
&=&lim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}
&=&lim_{Delta xto 0}left[nx^{{n-1}+frac{n(n-1)}{2}x}{n-2}(Delta x)+cdots +(Delta x)^{n-1}right]
&=&nx^{n-1}
end{eqnarray*}

我们的法则对负或分数形式的指数依然成立。关于证明会在后面讨论。
3.如果 $c$ 是一个常数， $u = f (x)$ 关于 $x$ 可导，那么
$d d x ( c u ) = c d u d x . frac{d}{dx}(cu)=cfrac{du}{dx}.$

也就是说，对常数乘以函数求导，结果等于该常数乘以函数的导数。为了证明它，考虑 $y = c u = c f (x)$ ，观察 $Δ y = c f (x + Δ x) - c f (x) = c [f (x + Δ x) - f (x)] = c Δ u$ ，所以
$frac{dy}{dx}=lim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{cDelta u}{Delta x}=clim_{Delta xto 0}frac{Delta u}{Delta x}=cfrac{du}{dx}.$

结合法则1和2，对于任何常数 $c$ 和正数 $n$ ，我们有
$frac{d}{dx}cx^n=cnx^{n-1}$

例1：现在我们快速的计算下面的导数：
begin{eqnarray*}
frac{d}{dx}3x^7&=&21x6,quad frac{d}{dx}22x^{101}=2222x{100},
frac{d}{dx}55x&=&55x^0=55,quad frac{d}{dx}left(-frac{1}{2}x^{{12}right)=-6x}{11}
end{eqnarray*}
4.如果 $u = f (x), v = g (x)$ 是关于 $x$ 的函数，那么
$d d x ( u + v ) = d u d x + d v d x frac{d}{dx}(u+v)=frac{du}{dx}+frac{dv}{dx}$

也就是说，两个函数和的导数等于他们各自导数的和。证明是很常规的：令 $y = u + v = f (x) + g (x)$ ，那么 $Δ y = [f (x + Δ x) + g (x + Δ x)] - [f (x) + g (x)] = [f (x + Δ x) - f (x)] + [g (x + Δ x) - g (x)] = Δ u + Δ v$ ，
begin{eqnarray*}
frac{dy}{dx}
&=&lim_{Delta xto 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}frac{Delta u+Delta v}{Delta x}=lim_{Delta xto 0}left[frac{Delta u}{Delta x}+frac{Delta v}{Delta x}right]
&=&lim_{Delta xto 0}frac{Delta u}{Delta x}+lim_{Delta xto 0}frac{Delta v}{Delta x}=frac{du}{dx}+frac{dv}{dx}.
end{eqnarray*}
同样的，两个函数差的导数等于他们导数的差
$d d x ( u − v ) = d u d x − d v d x . frac{d}{dx}(u-v)=frac{du}{dx}-frac{dv}{dx}.$

更进一步，这个结果可以扩展到有限项的加减
$d d x ( u − v + w ) = d u d x − d v d x + d w d x . frac{d}{dx}(u-v+w)=frac{du}{dx}-frac{dv}{dx}+frac{dw}{dx}.$

例2：现在对多项式求导就非常容易了。例如，
begin{eqnarray*}
frac{d}{dx}(15x^4+9x3-7x^2-3x+5)
&=&frac{d}{dx}15x^{4+frac{d}{dx}9x}3-frac{d}{dx}7x^2-frac{d}{dx}3x+frac{d}{dx}5
&=&60x^3+27x2-14x-3.
end{eqnarray*}
现在我们可以忽略掉中间步骤，而直接写出最终结果。

例3：函数 $y=(3x-2)^4$ 不是一个标准形式的多项式。目前还没有给出它的求导规则，当然后面会学习到的。目前我们可以利用二项式定理展开。
begin{eqnarray*}
y
&=&(3x-2)^4=[3x+(-2)]4
&=&(3x)^4+4(3x)3(-2)+frac{4cdot 3}{2}(3x)^2(-2)2+frac{4cdot 3cdot 2}{3cdot 2cdot 1}(3x)(-2)^3+(-2)4
&=&81x^4-216x3+216x^2-96x+16
end{eqnarray*}
所以
$frac{dy}{dx}=324x^3-648x^2+432x-96.$