CF #688D

原题链接

题意：构造一串长为n的01序列$(n\le 2000)$，有$\frac{1}{2}$的概率成功通过第i个关卡，如果失败，立即返回到小于等于i的最大的1位置。

为何单独一个1，通过的期望次数是2呢？
我们假设穿过一个单独的1的期望是x
有$\frac{1}{2}$的概率一次通过，也有$\frac{1}{2}$的概率失败，那么还需要x的期望通过。
于是$x=\frac{1}{2}\ast 1+\frac{1}{2}\ast (x+1)$，可以求得x = 2。

我们最后构造的序列可以分解成若干$1000\dots$序列的形式

我们定义$f[i]$为开头一个1，后面跟i - 1个0的期望步数。

那么由上面的推导得$f[1]=2$

可得下面的式子：
f [ i ] = f [ i − 1 ] + 1 + 1 2 ∗ { f [ i − 1 ] + ( f [ i ] − f [ i − 1 ] ) } f[i]=f[i-1]+1+frac12*{f[i-1]+(f[i]-f[i-1])} f[i]=f[i−1]+1+21​∗{f[i−1]+(f[i]−f[i−1])}

为什么是这个方程呢？

想通过第i个关卡，前提是突破前i - 1个关卡，期望是$f[i-1]$
现在我们用一步尝试通过第i个关卡，期望是1
$\frac{1}{2}$的概率突破了第i个关卡，这样就不需要多余的步数。
如果突破失败，就要回到上一个1的位置，回到第i - 1的位置需要步数$f[i-1]$，突破第i个关卡需要期望$f[i]-f[i-1]$
移项就能得到，$f[i]=2\ast f[i-1]+2$

我们可以发现只有期望为偶数时，才能构造，奇数无解。
偶数直接从大到小构造1000$\dots$串即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
vector<int> ans;
ll pre[100];
int main() 
{
	int t;
	scanf("%d", &t);
	for (int i = 1; i <= 60; i++) {
		pre[i] = pre[i - 1] * 2 + 2;
	}
	while (t--) {
		ans.clear();
		ll k;
		scanf("%lld", &k);
		bool flag = false;
		while (k) {
			for (int i = 60; i >= 1; i--) {
				if (pre[i] <= k) {
					k -= pre[i];
					ans.emplace_back(1);
					for (int j = 1; j < i; j++) {
						ans.emplace_back(0);
					}
					break;
				}
			}
			if (k & 1) {
				flag = true;
				break;
			}
		}
		if (flag || ans.size() > 2000) {
			printf("-1n");
			continue;
		}
		cout << ans.size() << endl;
		for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
			if (i) printf(" ");
			printf("%d", ans[i]);
		}
		printf("n");
	}
    return 0;
}

最后

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