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题目大意

给出一棵树，每次随机等概率选择一未染黑的点，将它及其子树染黑。问期望多少次操作可以将树全部染黑。

前置芝士

1. 数学期望

数学期望是指随机变量取值与概率的乘积之和，一般用$P$来表示。(类似于加权平均数)

2. 期望的可加性(核心)

$E(A+B)=E(A)+E(B)$，即两个(或者多个)随机变量的和的期望等于期望的和，可用于把一个大的期望拆成多部分去算。

分析

可以把操作次数的期望拆成每个节点期望被选中的次数，这样每个点在每次操作中被选中的概率之和即为所求答案。

如果某个节点被选中之前，这个节点的某一个祖先被选中了，那么这个节点就不会被选中。

只考虑这个点和它的所有祖先，那么其他点被选中时不会影响这个点被选中的概率。相当于不断随机选择点，直到选择了这个点或者它的某一个祖先时，我们就知道这个点是否会被选中。

如果这个点有$x$个祖先，那么这$(x+1)$个点之中，每个点最先被选出来的概率是相等的。

可以通过求每个节点的深度来计算，答案即为$\sum \frac{1}{dep[i]}$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
struct node{
	int to,next;
} a[N];
int n,tot=0,head[N],dep[N]; 
double sum=0;
void add(int x,int y)
{
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=head[x];
	head[x]=tot;
}
void dfs(int p,int fa)
{
	dep[p]=dep[fa]+1;
	for(int i=head[p];i;i=a[i].next)
	{
		int v=a[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,p);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);add(v,u);//双向边
	}
	dep[1]=1;//初始化
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sum+=1.0/dep[i];//统计结果
	printf("%.8lf",sum);
	return 0;
} 

最后

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