如何将一个矩阵化为行阶梯形矩阵

   有同学反映上一课过于冷冰冰，都是一些不带证明的公式。如果线性代数所有公式都要证明的话，线性代数的难度会上好几个量级，有的公式的证明是特别特别难的。还有一个，虽然我们需要大家能对这门课有一些直观的不那么抽象的观点和感受，但是这一切都不能脱离具体题目和做题方法，直观的理解是为我们考试得高分而服务的，希望大家不要本末倒置。

   将一个矩阵经过初等行变换得到行阶梯型矩阵，这是线性代数中的一个基本功，是我们后续课程中解线性方程组的第一步。关于上述内容，我们需要先清楚两个问题，什么是初等行变换，什么是行阶梯型矩阵。

  初等变换的概念我就不在此重复，如果细讲的话，它的引入最直观的理解是根据我们初中所学的解方程组的方法（将某一个方程乘以一个常数加到另一个方程上来消元）。这里需要强调的是，我们在化矩阵为行阶梯型矩阵的时候只能用行变换，不能用列变换（你可以想成我们就是在对方程相互之间进行化简来消元解方程，肯定不能把x和y前面的系数进行加减吧）。很多同学的问题是，知道了初等行变换，依旧化不好行阶梯型矩阵。

那么什么是行阶梯型矩阵呢。第一，矩阵的0行全在下方，第二，从行上看，从上到下出现连续0的个数严格递增。（什么意思呢，第一行连续0的个数如果为0，那么第二行连续0的个数最少为1，依此类推），这样才能画出一个阶梯线，这也就是阶梯型矩阵名字的由来，那么具体怎么做呢。先随便给一个矩阵如下：

我们化简的第一步，是在第一列里找一个最简单的非0元素，以1为最好，理论上不是1也可以，如果第一列里全是0，我们就从第二列里找一个非0元，然后将第一列里所选取的非0元素所在行换至第一行。

以上述矩阵为例，我们先看第一列，全都不是0，第一列第三行有一个1，第一列第五行有个1，第五行看起来相对简单一些（这里的简单是指跟第三列比有0元，后期加减更简单一些。）我们先把第一行和第五行进行互换，得到如下矩阵：

   第二步就是将第一列中的元素除了第一行外根据初等行变换全部变成0，怎么变呢，第一行乘以-2加到第二行，第一行乘以-1加到第三行，第一行乘以-2加到第四行，第一行乘以-2加到第五行。这样就得到了如下矩阵

   第三步：我们可以不管第一行了，完全可以把第一行遮住，然后重复我们上述步骤，也就是从第二列里除了第一行元素外找一个非0元，以1为最好，将所取非0元素的所在的行换至第二行，然后将第二列里除了第一行、第二行以外的元素根据初等行变换都变成0.

   以上述矩阵为列，刚好第二列第二行就为1，我们不需要换行，直接通过初等行变换，第二行乘以-3加到第三行， 第二列乘以-2加到第四行，第五列已经是0了，我们就不用管了。得到下述矩阵：

接着就是重复了，不管第一行，第二行，接着做的内容还是从第三列中除了第一行第二行外选一个简单的元素，第五行第三列为-1，可以乘以-1变为1，然后将第五行和第三行互换，互换后观察到第五行有一个公因数2，可以将整行除以2，得到下述矩阵：

接着将第三行乘以-2加到第四行，第三行乘以-1加到第五行（希望在这里你已经观察出来了，在我们熟练之后我们不一定要严格按照上述步骤化简，比如这时我完全可以先用第五行减去第四行后再进行化简，这里我们还是先严格按照步骤来）。得到下述矩阵

  这里我们就得到了这个行阶梯型矩阵，我们看满足定义吗，0行全在下方，没有0行，不用管，从上到下出现连续0的个数是不是严格递增了，第一行没有连续0，第二行有1个。。。。行阶梯型矩阵不唯一，当然我们可以接着进行化简将矩阵化为行最简型矩阵，行最简是什么意思呢，在行阶梯型矩阵的基础上还要满足：连续0后面第一个元素肯定是1且这个1所在列的其他元素都是0.

  最后再强调的是在我们熟练后不用严格按照上述步骤，可以先在某几行间进行初等行变换得到尽可能多的0后再做会简化运算量。以上就是将一个矩阵化为行阶梯型矩阵了，如果还是不懂，欢迎发来问题和我探讨，以方便我改进内容。另外，新学这门课的同学，你们学到哪一块了？

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