怎么求解矩阵的范数最小的问题

求解如下问题：
$\Phi =argmi{n}_{\Phi }||G-{\Psi }^T{\Phi }^T\Phi \Psi |{|}_F^2$
求解方法：
1、使用QR分解的方法求解上式
矩阵QR分解常用于求解病态线性方程组$Ax=b$，即求解
$y=Q^{T}b,Rx=y$
它的计算过程是非常稳定的，得到的结果往往要比三角分解法好得多。QR分解也常用于求解线性最小二乘问题、求矩阵全部特征值的QR方法等许多其他问题中，它是数值代数中许多中重要算法的基础。
2、使用梯度下降法，使用迭代的方法求解
梯度下降法适合于使用计算机计算，使用计算机没法像人为那样通过直接计算全局最小点或梯度零值点。要求损失函数为凸函数，即损失函数梯度为零时，保证取得损失函数最小值。
3、令$A_t^T{A}_t\approx G$，求解$A_t$，继而求解下式最小二乘问题：
$\Phi =argmi{n}_{\Phi }||A_t-\Phi \Psi |{|}_F^2$
求解$\Phi =A_t\Psi (\Psi {\Psi }^T{)}^{-1}$
4、使用ksvd算法的思想，展开${\Psi }^T{\Phi }^T\Phi \Psi$为$v_1^2+v_2^2+v_3^2+...$
将原式展开成：
$\Psi -v_2^2-v_3^2-...-v_1^2=E_1-v_1^2$
将$E_1$进行svd分解，$E_1=u_1{\lambda }_1{u}_1^T+u_2{\lambda }_2{u}_2^T+...$
使用$u_1{\lambda }_1{u}_1^T$代替$E_1$，更新$v_1=\sqrt{{\lambda }_1{u}_1}$
求解如下问题：
X = a r g m i n X { f ( x ) } = a r g m i n X { ∣ ∣ X − B ∣ ∣ F 2 + λ ∣ ∣ X ∣ ∣ 1 } X=argmin_{X}{f(x)}=argmin_{X}{||X-B||_F^2+lambda||X||_1} X=argminX​{f(x)}=argminX​{∣∣X−B∣∣F2​+λ∣∣X∣∣1​}
式中：$\lambda$大于0
1、使用软阈值函数
令$f(X)=||X-B|{|}_F^2+\lambda ||X|{|}_1$
求导$f^{\prime }(x)=2(X-B)+\lambda sgn(X)=0$
$X=-\frac{1}{2}\lambda sgn(X)+B$
如果$B$小于$\frac{1}{2}\lambda$，大于$-\frac{1}{2}\lambda$：
$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(X)=2X-2b+\lambda >0ifX>0\\ f^{\prime }(X)=2X-2b-\lambda <0ifX<0\end{array}$
所以，此时$X=0$为极小值点
如果B大于$\frac{1}{2}\lambda$:
$\{\begin{array}{l}X=b-\frac{1}{2}\lambda ifX>0\\ X=b+\frac{1}{2}\lambda ifX<0（因为\lambda 大于0，所以b+\frac{1}{2}\lambda 大于0，和假设X<0不符）\end{array}$
所以，此时$X=b-\frac{1}{2}\lambda$为极小值点
如果B小于$-\frac{1}{2}\lambda$:
$\{\begin{array}{l}X=b-\frac{1}{2}\lambda ifX>0（因为\lambda 大于0，所以b-\frac{1}{2}\lambda 小于0，和假设X>0不符）\\ X=b+\frac{1}{2}\lambda f^{\prime }(X)=2X-2b-\lambda <0ifX<0\end{array}$
所以，此时$X=b+\frac{1}{2}\lambda$为极小值点

最后

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