机器学习中使用正则化 L1范数和L2范数的原因

在机器学习中，损失函数后面通常都会添加一个额外项，用于防止过拟合提高算法的泛化能力，称为正则化惩罚（regularization penalty）。

为什么要添加这一项呢？大家可以想一下，原来没有这一项时，损失函数$L$的公式可以表示如下：

$$L=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{L}_i$$

上面这个公式有一个问题，假设有一个数据集和一个权重集$W$能够正确地分类每个数据（即所有的边界都满足，对于所有的$i$都有$L_i=0$），那么这个W是不唯一的，可能有很多相似的$W$都能正确地分类所有的数据。一个简单的例子：如果$W$能够正确分类所有数据，即对于每个数据，损失值都是0。那么当$\lambda >1$时，任何数乘$\lambda W$都能使得损失值为0，因为这个变化将所有分值的大小都均等地扩大了，所以它们之间的绝对差值也扩大了。

换句话说，我们希望能向某些特定的权重$W$添加一些偏好，对其他权重则不添加，以此来消除模糊性。这一点是能够实现的，方法是向损失函数增加一个正则化惩罚（regularization penalty），最常用的正则化惩罚就是L1范数和L2范数。

L1范数是对所有权重$W$的绝对值求和：

$$R(W)=\frac{\lambda }{n}\sum _{i,j}|W_{i,j}|$$

L2范数是对所有权重$W$进行逐元素的平方求和：

$$R(W)=\frac{\lambda }{2n}\sum _{i,j}{W}_{i,j}^2$$

故损失函数的完整表达公式为：

$$L=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{L}_i+R(W)$$

关于L1范数和L2范数的具体细节可以参考以下几篇文章：

正则化方法：L1和L2 regularization、数据集扩增、dropout
机器学习中正则化项L1和L2的直观理解
理解：L1正则先验分布是Laplace分布，L2正则先验分布是Gaussian分布

最后

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