欧拉公式：世界上最完美的公式（上帝公式） 复变函数 、平面几何 、拓扑学、 初等数论、 物理学

参考资料

欧拉公式是什么？为什么欧拉公式被称为世界上最完美的公式？下面我们就一起来了解一下吧。
欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，之所以叫作欧拉公式，那是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的，所以用他的名字进行了命名。

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做
欧拉公式，它们分散bai在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c

（2）复变函数论里的欧拉公式：
e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：

e^{-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e}ix-e^{-ix)/(2i)，cosx=(e}ix+e^{-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e}ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到： e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式： 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr

（4）拓扑学里的欧拉公式：
V+F-E=X§，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X§是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X§=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X§=2-2h。
X§叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。 在多面体中的运用:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

（5）初等数论里的欧拉公式： 欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。 欧拉证明了下面这个式子：
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。 此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

(6) 立体图形里的欧拉公式： 面数+顶点数—2=棱数

最后

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