介质中的Maxwell方程介质中的Maxwell方程界面上的电磁规律

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介质中的Maxwell方程

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \nabla \cdot E = ρ ε 0 \nabla \times E = - \partial B \partial t \nabla \cdot B = 0 \nabla \times B = μ 0 j + ε 0 μ 0 \partial E \partial t

在介质中，引入电极化强度

P = N q p l

有

ρ b = - \nabla \cdot P j b = \partial P \partial t

其中

ρp 指束缚电荷密度，

jb 指诱导电流

引入磁化强度 M

M = N I S

有

j m = \nabla \times M K m = - n \times M

其中

jm 是等效的体电流密度，

Km 是等效的面电流密度

所以，介质中的Maxwell方程

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \nabla \cdot E = ρ ε 0 - 1 ε 0 \nabla \cdot P \nabla \times E = - \partial B \partial t \nabla \cdot B = 0 \nabla \times B = μ 0 j + ε 0 μ 0 \partial E \partial t + μ 0 \partial P \partial t + μ 0 \nabla \times M

引入电位移强度和磁场强度

D = ε 0 E + P H = 1 μ 0 B - M

方程组改进为

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \nabla \cdot D = ρ \nabla \times E = - \partial B \partial t \nabla \cdot B = 0 \nabla \times H = j + \partial D \partial t

对线性介质，有

D = ε E H = B μ

方程组改写为

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \nabla \cdot E = ρ ε \nabla \times E = - \partial B \partial t \nabla \cdot B = 0 \nabla \times B = μ j + ε μ \partial E \partial t

在界面上，Maxwell方程的微分形式不再成立，需要用积分形式表示。

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \oint D \cdot d σ = ∭ ρ d τ \oint E \cdot d l = - \partial \partial t \iint B \cdot d σ \oint B \cdot d σ = 0 \oint H \cdot d l = \iint j \cdot d σ + \partial \partial t \iint D \cdot d σ

在界面处应用积分方程，得到边界条件

n \cdot (D 2 - D 1) = Σ n \cdot (B 2 - B 1) = 0 n \times (E 2 - E 1) = 0 n \times (H 2 - H 1) = K

本篇主要参考俞允强《电动力学简明教程》

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