高等数学：第六章 定积分的应用（5）功、水压力和引力

§6.5  功、水压力和引力

一、变力沿直线所作的功

【例1】半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?

解：建立如图所示的坐标系

将高为的球缺取出水面，所需的力为：

其中：是球的重力，表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。

由球缺公式  有

从而   

十分明显，表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力从改变至时所作的功。

取为积分变量，则，对于上的任一小区间，变力从到这段距离内所作的功。

这就是功元素，并且功为

另解  建立如图所示的坐标系

取为积分变量， 则 ，

在  上任取一个小区间，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为

由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为

将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 。

故功元素为 

二、水压力

在水深为处的压强为，这里是水的比重。

如果有一面积为的平板水平地放置在水深处，那未，平板一侧所受的水压力为

若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。

【例2】边长为和的矩形薄板，与水面成角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深处。设，水的比重为，试求薄板所受的水压力。

解：由于薄板与水面成角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是

取为积分变量， 则   (注意： 表示水深)

在中任取一小区间，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是 

它所承受的水压力约为

于是，压力元素为

这一结果的实际意义十分明显

正好是薄板水平放置在深度为的水中时所受到的压力；

而是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为处所受的水压力。

三、引力

由物理学知道：质量为、，相距为的两质点间的引力大小为

为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。

如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。

【例3】设有一半径为， 中心角为的圆弧形细棒， 其线密度为常数， 在圆心处有一质量为的质点， 试求这细棒对质点的引力。

解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。

解：建立如图所示的坐标系，质点位于坐标原点，该圆弧的参方程为

在圆弧细棒上截取一小段，其长度为，它的质量为，到原点的距离为，其夹角为，它对质点的引力的大小约为

在水平方向(即轴)上的分力的近似值为

而

于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力的元素，

故     

类似地 

因此，引力的大小为，而方向指向圆弧的中心。

最后

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