相干信号源数学模型

对两个平稳信号$s_i(t)$和$s_k(t)$，定义相关系数

信号的相关性定义如下

相干信号源间只差一个复常数，假设有$n$个相干信号源

$s_0(t)$称为生成信源，生成了入射到阵列上的$n$个相干信号源。
相干信号源模型：

平滑秩序列法

当信号源相干时，估计信号源数。
对于独立信号的分辨能力，阵元数M应大于独立源数，即$M\ge K+1$；对于前向/后向空间平滑法，应满足$M\ge K+J_1$，$K$是总源数，$J_1$是相关源数目，对于双向平滑算法，应满足$M\ge K+\frac{1}{2}{J}_1$。
设${\mathbf{R}}_0$是$M\times M$维矩阵，$k$是正整数，定义一个$(M-k)\times M$维矩阵${\mathbf{I}}_{M-K}$

将${\mathbf{R}}_0$分成交叉重叠矩阵 { R 0 ( i ) } i = 1 M − 1 {bm{R}_0^{(i)}}_{i=1}^{M-1} {R0(i)​}i=1M−1​

信号源由$L$组相关源的群组成，表示为$g_i$，如$i=1$表示单个独立信号，$i=3$表示有三个相干源，$L$是最大的相关源数，$g_2=3$表示有三个相关群，每个群有2个相干源，相关群总数为

总信号源数为

从有限次快拍的数据中获得数据协方差矩阵，此时

而$\widehat{{\mathbf{R}}^{(k)}}$的信号子空间维数就是$\widehat{{\mathbf{R}}_0^{(k)}}$的秩，故平滑秩序列为

根据MDL准则

双向平滑秩序列

平滑秩算法

1.$k=0$
2.MDL准则求$\widehat{{\mathbf{R}}_0^{(k)}}$维数
3.$k=k+1$
4.判断结果条件
5.根据平滑秩序列判断源数及结构

波束形成最优权

空间存在$M$个阵元组成的阵列，阵元的接收信号矢量为$\mathbf{x}(t)$，各阵元的权矢量
$$\mathbf{w}=[w_1{w}_2\cdots w_M{]}^T$$

阵列输出
$$y(t)={\mathbf{w}}^H\mathbf{x}(t)=\sum _{i=1}^M{w}_i^{\ast }{x}_i(t)$$

阵列输出平均功率
$$P(w)=\frac{1}{L}\sum _{t=1}^L|y(t){|}^2={\mathbf{w}}^{H}E\mathbf{x}(t){\mathbf{x}}^H(t)\mathbf{w}={\mathbf{w}}^H\mathbf{R}\mathbf{w}$$

目的：保证来自某个确定方向${\theta }_d$的信号能正确接收，其他入射方向的信号或干扰被抑制
数学表示：在保证所需方向${\theta }_d$的信号输出为唯一常数的条件下，使阵列的输出功率极小化

拉格朗日常数法求解，目标函数：

对$\mathbf{w}$求导，令其等于零，求得最优权矢量

常数

空间平滑算法

根据上述相干信号源的数学模型，当信号源完全相干，阵列接受的数据协方差矩阵的秩降为1，导致信号子空间维数小于信号源数，相当于信号子空间“扩散”到了噪声子空间，导致相干源的导向矢量与噪声子空间不完全正交，无法估计信号源方向。
核心问题：使信号协方差矩阵的秩有效恢复，从而正确估计信号源方向
方法：
1.降维：空间平滑SS算法、修正空间平滑MSS算法
2.非降维：Toeplitz法、子空间拟合算法
3.矩阵重构算法：矩阵分解MD法、奇异值分解SVD法

原理

窄带均匀线阵，第$l$个阵元接收的数据为

共$M$个阵元，$N$个信号源

将阵列分成相互交错的$p$个子阵，每个子阵的阵元数为$m$，有$M=p+m-1$，取$x_1(t)$为参考子阵，则对于第$k$个子阵有数据模型

数据协方差矩阵为

前向空间平滑MUSIC方法对满秩协方差矩阵的恢复是通过求各子阵协方差的均值来实现的，取前向平滑修正的协方差矩阵为

矩阵重构类算法

Toeplitz矩阵

具有$2n-1$个元素的$n$阶矩阵
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \cdots & a_{-n+1}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \cdots & a_{-n+2}\\ a_2& a_1& a_0& \cdots & a_{-n+3}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n-1}& a_{n-2}& a_{n-3}& \cdots & a_0\end{array}\right]$$

称为Toeplitz矩阵，简称$T$矩阵，简记为$\mathbf{A}=(a_{-j+i}{)}_1^n$，其中$“1”$$“n"$表示矩阵元素的下标$（i,j=1,2,\cdots ,n）$。$T$矩阵完全由第1行和第一列的$2n-1$个元素确定。
可见，Toeplitz矩阵中位于任意一条平行于主对角线的直线上的元素全都是相等的，且关于副对角线对称。

Toeplitz算法

理想情况下阵列接收数据的协方差阵$\hat{\mathbf{R}}$具有Toeplitz性质。但实际中，要通过Toeplitz预处理使得矩阵接近真实的数据协方差阵$\mathbf{R}$
${\mathbf{S}}_T$是Toeplitz矩阵集。
1.对阵列的数据协方差矩阵Toeplitz预处理，得到一个矢量$\hat{\mathbf{r}}$
2.通过矢量$\hat{\mathbf{r}}$重构数据协阵${\mathbf{R}}_T$
3.对重构矩阵进行特征值分解，得到数据的信号子空间与噪声子空间
4.利用MUSIC算法进行DOA估计

MVDR波束形成器（Capon波束形成器）

常规波束形成器的阵增益有限，为了最大限度提高阵增益，MVDR波束形成其可以让感兴趣方位的信号无失真输出，使波束输出噪声方差最小。
波束输出噪声方差

MVDR波束形成的加权向量设计问题可以表述为

采用Lagrange算子，定义函数

对$\mathbf{w}$求导，并令导数为0，得到

MVDR波束输出功率为

MVDR波束形成器的阵增益为

MVDR波束形成MATLAB仿真

$$B_{MVDR}={\mathbf{w}}_{MVDR}^H{\mathbf{a}}_s$$

10阵元标准线阵，假设基阵接收噪声是功率为0dB的高斯白噪声。一个信噪比SNR=30dB的单频信号从10°的方向入射。设计MVDR波束形成其加权矢量。
观察方向分别取10°和-10°，对于${\theta }_0=-10°$，相当于$\beta =0$，10°方向平面波被是做干扰，对于10°方向波束，10°方向被是做期望信号，对应$\beta =1$。

对于${\theta }_0=-10°$的波束图，在-10°方向的响应为1（0dB）。MVDR波束形成其在10°方向形成零点抑制干扰。对于${\theta }_0=10°$的波束图，假想导向向量与真实基阵方向相应向量相等，且接收噪声是白噪声，$R_n=I$，该MVDDR波束形成其退化为常规波束形成器。

N = 10;                %阵元数
n = 0:9;
theta0 = 10;           %信号入射角
p0 = exp(-1i*pi*n'*(-sin(theta0/180*pi)));
angle = -90:0.1:90;    %波束扫描范围
p = exp(-1i*pi*n'*(-sin(angle/180*pi)));
Rx = 10^3*(p0*p0')+eye(N);  %接收噪声是0dB高斯白噪声Rn=I
w0_MVDR = Rx^(-1)*p0/(p0'*Rx^(-1)*p0);
B = w0_MVDR'*p;
B_dB = 20*log10(abs(B));
plot(angle,B_dB,'--');
hold on;
theta1 = -10;%信号入射角
p1 = exp(-1i*pi*n'*(-sin(theta1/180*pi)));
w1_MVDR = Rx^(-1)*p1/(p1'*Rx^(-1)*p1);
B1 = w1_MVDR'*p;
B1_dB = 20*log10(abs(B1));
plot(angle,B1_dB);
title('波束图');
xlabel('theta/(°)');
ylabel('20lg|B(theta)|/dB');
axis([-90,90,-100,0]);

MVDR波束扫描估计方位谱MATLAB仿真

MVDR波束形成器输出功率
$${\sigma }_{MVDR}^2={\mathbf{w}}^H{\mathbf{R}}_x\mathbf{w}$$

MVDR波束扫描得到的方位谱峰值尖锐，分辨能力较好。

w_MVDR = zeros(N,length(angle));
for i=1:length(angle)
    w_MVDR(:,i) = Rx^(-1)*p(:,i)/(p(:,i)'*Rx^(-1)*p(:,i));
end
P = w_MVDR'*Rx*w_MVDR;
P_dB = 10*log10(abs(diag(P)))';
figure(2);
plot(angle,P_dB);
title('方位谱');
xlabel('theta_0/(°)');
ylabel('10lg|P(theta_0)|/dB');
grid on;
hold on;
plot(10,30,'r-o');        %SNR=30dB
legend('方位谱','真实信号');

分析扫描方位波束加权向量范数$10\log (||\mathbf{w}|{|}^2)$

在波束观察方向距离信号方向较远时，加权向量范数很小，接近-10dB。

随着间隔的减小，加权向量范数逐渐增加，当波束方向等于信号方向，加权向量范数突然下降。

两信号源情况下MVDR

10阵元标准线阵，基阵接收噪声是功率为0dB的高斯白噪声，两个信噪比为15dB与30dB的单频信号分别从-10°和10°入射

常规

对于-10°的相对弱信号，由于“能量泄露”，被强信号湮没。

MVDR

正确显示两个信号方向和功率，信号分辨力高于常规波束形成。

接收相干信号盲多波束形成

按照上述相干信号模型，阵列接收信号相关矩阵

按照上述波束形成最优权算法，线性约束最小方差准则求权矢量

实际中${\mathbf{R}}_u$和${\mathbf{b}}_d$不能直接获得。
根据独立信号和噪声对应的数据协方差矩阵为Toeplitz矩阵，而相干信号的协方差矩阵不是Toeplitz矩阵的特性，通过阵列接收信号的协方差矩阵$\mathbf{R}$构造出仅含相干信号的数据矩阵。
Toeplitz矩阵的定义：对于$Ｍ$维矩阵$\mathbf{R}$，若$\mathbf{R}=\mathbf{J}{\mathbf{R}}^T\mathbf{J}$，其中$\mathbf{j}$为$Ｍ$维反对角单位矩阵，则称$\mathbf{R}$为Toeplitz矩阵。相关矩阵中的${\mathbf{R}}_J=\mathbf{A}\mathbf{S}{\mathbf{A}}^H$，$\mathbf{S}$为实对角矩阵，那么

所以，${\mathbf{R}}_J$和${\mathbf{R}}_N$是Toeplitz矩阵，而$\mathbf{R}$和${\mathbf{R}}_D$不是Toeplitz矩阵。因此可以构造只含有相关信号的数据矩阵（不包含独立信号和噪声信息）

因此，${\mathbf{R}}_{D1}$有一对符号相异，绝对值相等的特征值，其他特征值都为0。进行特征值分解

阵列接收数据的协方差矩阵$\mathbf{R}$特征值分解

其中，信号子空间

由于存在噪声，上式不为0，求解$\mathbf{r}$（约束防止0解）

$\mathbf{r}$解为上是最小特征值对应的特征向量$\mathbf{\eta }$
因此，相干信号合成导向矢量${\mathbf{b}}_d$的估计值为

波束形成器的加权矢量

最后

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