2020 ICPC南京 M.Monster Hunter(树形背包)

题目大意

  给你一棵树，你可以去掉i个点（$i\in [0,n]$），然后计算剩余结点的贡献，每个结点的贡献为它本身的价值加上它所有儿子的价值。当然你需要合理安排删去的i个结点使贡献最小化。输出每个i对应的贡献值。

解体思路

  树形dp，由于结点的贡献与周边的结点有关，所以还需要再开一维状态
状态设计：
$dp[0][i][j]$ 表示删掉结点i，并且子树中留下j个结点的价值。
$dp[1][i][j]$ 表示留下结点i，并且子树中留下j-1个结点的价值。
状态转移：
$$dp[0][i][j+k]=min(f[0][i][j+k],f[0][i][j]+min(f[0][son][k],f[1][son][k]))$$
$$dp[1][i][j+k]=min(f[1][i][j+k],f[1][i][j]+min(f[0][son][k],f[1][son][k]+a[son]))$$
其中a数组存储的是结点的价值
边界条件：
$$f[0][i][0]=0$$
$$f[1][i][1]=a[i]$$

代码实现

注意dp时边界的确定，否则复杂度不是O(n)的
循环中第一维倒序枚举的原因是运用了滚动数组

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int MAXN = 2e3 +5;
const int MAXM = 4e3 +5;
#define ll long long
 
const ll inf = 1e18;
 
int head[MAXN], nxt[MAXM], to[MAXM], sze[MAXN], a[MAXN], n, tot;
inline void AddEdge(int u, int v) {
     nxt[++tot] = head[u], to[head[u] = tot] = v;
}

ll f[2][MAXN][MAXN];
void dfs(int u) {
    f[0][u][0] = 0;
    f[1][u][1] = a[u];

    for(int e = head[u]; e; e=nxt[e])
        dfs(to[e]);

    sze[u] = 1;
    for (int e = head[u]; e; e =  nxt[e]) {
        for (int j = sze[u]; j >= 0; j--) {
            for (int k = sze[to[e]]; k >= 0; k--) {
                f[0][u][j + k] = min(f[0][u][j + k], f[0][u][j] + min(f[0][to[e]][k], f[1][to[e]][k]));
                f[1][u][j + k] = min(f[1][u][j + k], f[1][u][j] + min(f[0][to[e]][k], f[1][to[e]][k] + a[to[e]]));
            }
        }
        sze[u] += sze[to[e]];
    }
}
 
int main() {
    int T; scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++) head[i] = 0;
        tot = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int u;
            scanf("%d", &u);
            AddEdge(u, i);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", a + i);
 
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j <= n; j++)
                f[0][i][j] = f[1][i][j] = inf;
                
        dfs(1);
        for (int i = 0; i <= n; i++)
            printf("%lld%c", min(f[0][1][n - i], f[1][1][n - i]), " n"[i == n]);
    }
 	return 0;
}

最后

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