[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.15

15. 设 $S_n[a,b]$ 表示所有元素属于给定的区间 $[a,b]$ 的 $n$ 阶实对称矩阵的集合. 对于 $j=1,n$ 确定 $$bex maxsed{lm_j(A); Ain S_n[a,b]}mbox{ 和 } minsed{lm_j(A); Ain S_n[a,b]}, eex$$ 以及分别取到最大值和最小值的矩阵.

 

 

解答: 对 $0neq xinbbR^n$, $$beex bea &quad x^TAx\ &=x^TP^T (PAP^T)Px\ &quadsex{P mbox{ 为置换阵, 使得 }Px mbox{ 的前 }kmbox{ 个分量 }geq 0,mbox{ 后 }k mbox{ 个分量 }<0;atopmbox{ 且不妨设 }k>0, mbox{ 否则用 }-xmbox{ 代替 }x}\ &=y^TByquadsex{B=PAP^Tmbox{ 的元素是 }A mbox{ 的元素的重排}, y=Px}\ &=sum_{i,j=1}^n b_{ij}y_iy_j\ &=sum_{i,j=1}^k b_{ij}y_iy_j +2sum_{i=1}^ksum_{j=k+1}^n b_{ij}y_iy_j +sum_{i,j=k+1}^n b_{ij}y_iy_j\ &geq asum_{i,j=1}^k y_iy_j +2bsum_{i=1}^ksum_{j=k+1}^n y_iy_j +asum_{i,j=k+1}^n y_i y_j\ &=y^TJy\ &quad sex{J=sex{ba{cc} aJ_k&bJ_{k,n-k}\ bJ_{n-k,k}&aJ_{n-k} ea}, J_{r,s}mbox{ 为各元素为 }1mbox{ 的 }rtimes smbox{ 阶矩阵}, J_r=J_{r,r}}. eea eeex$$ 因此, $$beex bea lm_n(A)&=min_{sen{x}=1}x^TAx\ &=min_{sen{y}=1} y^*Jy\ &=lm_n(J). eea eeex$$ 往求 $J$ 的最小特征值 $lm_n(J)$. 显然, $J$ 可通过初等行变换化为 $$bex sex{ba{cccccc} a&cdots&a&b&cdots&b\ 0&cdots&0&0&cdots&0\ vdots&&vdots&vdots&&vdots\ 0&cdots&0&0&cdots&0\ b&cdots&b&a&cdots&a ea}, eex$$ 其秩 $leq 2$, 将 $J$ 通过正交阵化为对角型后即知 $J$ 最多只有 $2$ 个不为零的特征值, 记为 $mu_1$, $mu_2$, 则通过比较迹, Frobenius 范数 (酉不变, 而正交不变), 有 $$bex cequiv na=mu_1+mu_2, eex$$ $$bex dequiv k^2a^2 +2k(n-k)b^2 +(n-k)^2a^2 =mu_1^2+mu_2^2. eex$$ 而 $mu_1,mu_2$ 为二次方程 $$bex t^2-ct+frac{c^2-d}{2}=0 eex$$ 的解. 于是 $$beex bea lm_n(J) &=frac{c-sqrt{c^2-4frac{c^2-d}{2}}}{2}\ &=frac{1}{2}sez{ na-sqrt{ (n-2k)^2a^2+4k(n-k)b^2 } }\ &=frac{1}{2} sez{na- sqrt{ 4(a^2-b^2)k^2-4(a^2-b^2)nk+n^2a^2 } }. eea eeex$$ 因此, 当 $|a|<b$ 时, 如果 $n$ 为偶数, 则当且仅当 $dps{k=frac{n}{2}}$ 时, $lm_n(J)$ 达到最小, 为 $$bex frac{n(a-b)}{2}; eex$$ 当 $n$ 为奇数时, 则当且仅当 $dps{k=frac{n-1}{2}}$ 或 $dps{k=frac{n+1}{2}}$ 时, $lm_n(J)$ 达到最小, 为 $$bex frac{1}{2}sez{na-sqrt{a^2+(n^2-1)b^2}}. eex$$ 当 $|a|=b$ 时, $a<0$, 对 $forall 1leq kleq n$, 都有 $$bex lm_n(J)=na. eex$$ 当 $|a|>b$ 时, $a<0$, 当且仅当 $k=n$ 时, $lm_n(J)$ 达到最小, 为 $$bex na. eex$$ 综上讨论, 我们总结如下:

 

(1). 当 $|a|<b$ 时, 如果 $n$ 为偶数, 则当且仅当 $A$ 与 $$bex sex{ba{cc} aJ_frac{n}{2}&bJ_frac{n}{2}\ bJ_frac{n}{2}&aJ_frac{n}{2} ea} eex$$ 置换相似时, $lm_n(A)$ 达到最小, 为 $$bex frac{n(a-b)}{2}; eex$$ 如果 $n$ 为奇数, 则当且仅当 $A$ 与 $$bex sex{ba{cc} aJ_frac{n-1}{2}&bJ_{frac{n-1}{2},frac{n+1}{2}}\ bJ_{frac{n+1}{2},frac{n-1}{2}}&aJ_frac{n+1}{2} ea} eex$$ 置换相似时, $lm_n(A)$ 达到最小, 为 $$bex frac{1}{2}sez{ na-sqrt{ a^2+(n^2-1)b^2 } }; eex$$

 

(2). 当 $|a|=b$ 时, 当且仅当存在某个 $1leq kleq n$, $A$ 与 $$bex sex{ba{cc} aJ_k&bJ_{k,n-k}\ bJ_{n-k,k}&aJ_{n-k} ea} eex$$ 置换相似时, $lm_n(A)$ 达到最小, 为 $$bex na. eex$$

 

(3). 当 $|a|>b$ 时, 当且仅当 $A=aJ_n$ 时, $lm_n(A)$ 达到最小, 为 $$bex na. eex$$ 最后, $$bex maxsed{lm_1(A); Ain S_n[a,b]}, eex$$ $$bex minsed{lm_1(A); Ain S_n[a,b]}, eex$$ $$bex maxsed{lm_n(A); Ain S_n[a,b]} eex$$ 均可类似讨论而得到相应的结论.