Description

给定一个长度为 N 的序列 A={a1,a2,…,an} .

M 次操作, 每次操作形如下面两种中的一种:

1 l r x 将 $a_l,a_{l+1},...,a_r$ 都加上 x ;

2 l r 求${\sum }_{i=l}^{r}f(a_i)mod(10^9+7)$

其中 $f_n$ 为斐波那契数列的第 n 项, 即

$$\{\begin{array}{l}{f}_n=1n=1或n=2\\ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}n>2\end{array}$$

Input

第一行两个数 N,M .

第二行 N 个数 a1,a2,…,an .

接下来 M 行, 每行代表题目描述中的一种操作.

Output

对于每个询问, 输出一行, 表示答案.

Solution

这题是区间修改查询，一看就是线段树，但我们怎么处理序号加x呢？
众所周知，斐波那契数列可以用矩阵快速幂来搞。
所以，我们可以让线段树每一个节点储存一个表示$f(a_i)$的矩阵，对于某个节点加x，只要用这个节点的矩阵乘上单位矩阵p的x次方。

那么问题来了，虽然可以处理单点，但区间怎么办？
其实对于一段区间，我们可以直接将矩阵每一位的值加起来再乘（即结合律），举个栗子：

$\left[\begin{array}{cc}f(2)& f(3)\\ & \\ 0& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ & \\ 1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}f(4)& f(5)\\ & \\ 0& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ & \\ 1& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}f(2)+f(4)& f(3)+f(5)\\ & \\ 0& 0\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ & \\ 1& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}f(3)+f(5)& f(4)+f(6)\\ & \\ 0& 0\end{array}\right]$

那么线段树统计区间直接将矩阵加起来就好啦。

因为常数较大，所以要适当卡常，而且应提前处理好每次加x乘的矩阵，保证复杂度。
但是似乎出题人预处理了2的幂，所以跑得比我快。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=1e9+7;
long long s[400010];
bool islaz[400010];
struct node{
long long a[3][3];
node(){
memset(a,0,sizeof(a));
}
}pp,p,p1,tree[400010],laz[400010];
node func(node a,node b){
node c;
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
for(int k=1;k<=2;k++)
c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
return c;
}
void build(int id,int l,int r){
if(l==r){
p=pp;
laz[id]=node();
int x=s[l]-1;
tree[id].a[1][2]=1;
while(x>0){
if(x%2==1) tree[id]=func(tree[id],p);
p=func(p,p);
x/=2;
}
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(id*2,l,mid);
build(id*2+1,mid+1,r);
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
tree[id].a[i][j]=(tree[id*2].a[i][j]+tree[id*2+1].a[i][j])%mod;
}
void pushdown(int id){
if(islaz[id]){
islaz[id]=0;
tree[id*2]=func(tree[id*2],laz[id]);
tree[id*2+1]=func(tree[id*2+1],laz[id]);
if(islaz[id*2]) laz[id*2]=func(laz[id*2],laz[id]);
else laz[id*2]=laz[id],islaz[id*2]=1;
if(islaz[id*2+1]) laz[id*2+1]=func(laz[id*2+1],laz[id]);
else laz[id*2+1]=laz[id],islaz[id*2+1]=1;
laz[id]=node();
}
}
void update(int id,int l,int r,int ul,int ur){
if(ul<=l&&r<=ur){
tree[id]=func(tree[id],p1);
if(islaz[id]) laz[id]=func(laz[id],p1);
else laz[id]=p1,islaz[id]=1;
return;
}
pushdown(id);
int mid=(l+r)>>1;
if(ul<=mid) update(id*2,l,mid,ul,ur);
if(ur>mid) update(id*2+1,mid+1,r,ul,ur);
for(int i=1;i<=2;i++)
for(int j=1;j<=2;j++)
tree[id].a[i][j]=(tree[id*2].a[i][j]+tree[id*2+1].a[i][j])%mod;
}
int query(int id,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l&&r<=qr)
return tree[id].a[1][2]%mod;
pushdown(id);
int mid=(l+r)>>1,sum=0;
if(ql<=mid) sum=(sum+0ll+query(id*2,l,mid,ql,qr)%mod)%mod;
if(qr>mid) sum=(sum+0ll+query(id*2+1,mid+1,r,ql,qr)%mod)%mod;
return sum;
}
inline int read(){
char c=getchar(); long long x=0,f=1;
while(!isdigit(c) && c!='-') c=getchar();
if(c=='-') { f=-1; c=getchar(); }
while(isdigit(c)) { x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0'; c=getchar(); }
return x*f;
}
int main(){
int n,m,op,l,r,x;
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
s[i]=read();
pp.a[1][2]=pp.a[2][1]=pp.a[2][2]=1;
build(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++){
op=read(),l=read(),r=read();
if(op==1){
x=read();
p1=pp;
p=pp;
int x1=x-1;
while(x1>0){
if(x1%2==1) p1=func(p1,p);
p=func(p,p);
x1/=2;
}
update(1,1,n,l,r);
}
else printf("%dn",query(1,1,n,l,r));
}
}

最后

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