1. 树的概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。
  
  注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
  

1.2 树的相关概念

节点的度： 一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点： 度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
非终端节点或分支节点： 度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点： 一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点： 具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度： 一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
节点的层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度或深度： 树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点： 双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林： 由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

1.3 树的表示方法

下面提供几种方法：

1. 当知道树的度时：
   （1）定义一个结构体，结构体的内容为一个数据类型变量用来存储数据，一个指针数组，数组中每个元素存放孩子的指针。

#define N 5
typedef struct TreeNode
{
	int data;
	struct TreeNode* sub[N];   //指针数组,数组每个元素指向了孩子的指针
};

（缺陷：树的度是所有结点的度中最大的那一个，所以这样表示树会存在空间浪费。）
2. 当不知道树的度时：
（1）定义一个结构体，结构体的内容为一个数据类型用来用来存储数据，一个顺序表用来存指向该结点孩子的指针，每个结点中都有一个顺序表。

typedef struct TreeNode
{
	int data;
	//用顺序表存孩子的指针，每一个结点里面都有一个顺序表
	SeqList_s1; //SLDataType -> struct TreeNode* - 用一个顺序表来存储
	//vector<struct TreeNode*> _subs; C++
};

（缺陷：相比于面向对象的语言，用C语言实现这种结构的话会很麻烦。）
（2）还有几种非主流的写法，例如用数组的方法，数组中存放孩子结点的下标，当然该方法还是很麻烦，用的也很少。
下面介绍一种非常优秀的表示方法:（没有之一）
孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;
struct TreeNode
{
	struct TreeNode* firstChild1;		// 第一个孩子结点
	struct TreeNode* pNextBrother;		// 指向其下一个兄弟结点
	DataType data;						// 结点中
};

一个结点有多少个孩子都无所谓:
父亲指向第一个孩子，剩下的孩子，用孩子的兄弟指针链接起来。

具体内部示意图：

1.4 树在实际中的运用

（表示文件系统的目录树结构）

2. 二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成，从上图可以看出：
   
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
   说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
   的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
   应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
   

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的 第i层上最多有2^(i - 1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h - 1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 N0, 度为2的分支结点个数为 N2,则有 N0 ＝ N2 ＋ 1.
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = log2(n + 1) . (ps：log2(n + 1)是log以2为底，n + 1为对数).

对（N0 ＝ N2 ＋ 1）的推导：

假设度为0的结点（叶节点）个数为N0
假设度为1的结点个数为N1
假设度为2的结点个数为N2
假设树总结点数为N：

• 我们知道树的边数是比结点数少1的，因为除了头结点其他的所有结点都有一条边是指向它的，所以树的边数为：N - 1。

我们又知道：

• 树的总边数 = 每个结点的度的总和
• 树的总结点数 = 各结点总和

所以：

• N = N0 + N1 + N2
• N - 1 = 0 * N0 + 1 * N1 + 2 * N2

两式联立便可以得到：

• N0 = N2 + 1

满二叉树总结点数是由等比数列求和公式求得不再赘述。

3. 练手小题

补充：

在这里补充一个小的技巧规律，基于二叉树的特性，我们总结出：
对于一个完全二叉树来说，度为1的结点树，只有0，或者1，两种可能。

• 当完全二叉树的结点总个数为偶数个时：
  此时该二叉树的最后一层节点为奇数个，并且度为1的结点个数为1个，如图：
  

• 当完全二叉树的结总个数为奇数个时：
  此时该二叉树的最后一层节点为偶数个，并且度为1的结点个数为0个，如图：

假设度为0的结点（叶节点）个数为N0
假设度为2的结点个数为N1
假设度为2的结点个数为N2
假设树总结点数为N：

例题1：

1.某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为()

A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

根据二叉树的性质：

• N0 = N2 + 1
• N0 = 199 + 1 = 200

例题2：

2.在具有2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为()

A n
B n+1
C n-1
D n/2

因为2n为偶数，根据补充的内容得出：N1 = 1

• N = N0 + N1 + N2
• N2 = N0 - 1
  联立两式得：
• 2n = N0 + 1 + N0 - 1
• N0 = n

例题3：

3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为()

A 11
B 10
C 8
D 12

这题我们将这棵完全二叉树想象成满二叉树，用满二叉树总结点个数的公式去尝试：
满二叉树总结点个数：2^h - 1

• 我们可以列一个不等式2 ^h - 1 < 531 < 2 ^(h - 1) - 1
• 解出来 h = 10 的时候满足条件

例题4：

4.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为()

A 383
B 384
C 385
D 386

因为767为奇数，根据补充的内容得出：N1 = 0

• N = N0 + N1 + N2
• N2 = N0 - 1
  联立两式得：
• 767 = N0 + 0 + N0 - 1
• N0 = 384

公布答案： B A B B

例题5：

5.在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个,度为2的结点有1个，度为1的结点有2个,则叶子结点有()个

A 4 
B 5
C 6
D 7

• N = N0 + N1 + N2 + N3
  N = N0 + 2 + 1 + 2
• N - 1 = 0 * N0 + 1 * N1 + 2 * N2 + 3 * N3
  N - 1 = 0 + 2 + 2 + 6
  联立两式得：
  N0 = 6

例题6：

6.一颗拥有1000个结点的树度为4,则它的最小深度是()

A 5 
B 6
C 7
D 8

既然要求最小的深度，那么数的每一层应该都是满的才能满足条件要求：

那么该数就为一棵四叉树，根据等比数列求和公式，得到总结点个数：(4^h - 1) / 3

• 当h = 5, 最大节点数为341，
• 当h = 6, 最大节点数为1365
• 所以最小深度应该为6

例题7：

7.一颗完全_二叉树上有1001个结点，其叶子结点的个数是()

A 251
B 500
C 501 
D 不能确定

因为1001为奇数，根据补充的内容得出：N1 = 0

• N = N0 + N1 + N2
• N2 = N0 - 1
  联立两式得：
• 1001 = N0 + 0 + N0 - 1
• N0 = 501

例题8：

8.2-3树是一种特殊的树，它满足两个条件:
(1)每个内部结点有两个或三个子结点
(2)所有的叶结点到根的距离相同

如果一颗2-3树有10个结点，那么它有()个叶结点。

A 7
B 8
C 7或8
D 6

根据题目意思，每一个非叶子节点至少有两个孩子节点，并且叶子节点都在同一层

• 所以，假设树的高度为h，
• 则二三树种最小的节点个数为满二叉树的个数：2 ^ h - 1, 最大个数：( 3^ h - 1) / 2
• 所以 2^ h - 1 < 10 < (3^h - 1) / 2, 解得：h为3
• 结构是1(3(2,2,2))
• 所以叶节点个数为6
  结构如图所示：
  
  公布答案： C B C D

最后

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