GDOI2018 小学生图论题 [NTT]

并没有传送门qwq

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思路

首先要知道一个结论（或者说是一个套路）：一个竞赛图缩点之后必定是一条链。

那么强联通分量的个数，就是这条链的边数+1。

考虑一条边什么时候会出现：当且仅当点集可以被分成(S,T)两个集合且他们之间的边全都是(Srightarrow T)的。

那么(m=0)时可以枚举点集大小，那么答案就是
[ 1+sum_{i=1}^{n-1} {nchoose i} (frac 1 2)^{i(n-i)} ]
(m>0)时仍然考虑枚举点集大小，此时每条链上的点要么全都在一边，要么被分成了两半，相当于做了个背包，可以用NTT优化。

但分成两半时中间的那条边已经固定了下来，没有必要算上它的(frac 1 2)。

考虑把这个(frac 1 2)抵消掉，那么可以把它的系数置为2。

也就是说，对于一个(k)个点的链，它的多项式是(1+2x+2x^2+cdots+2x^{k-1}+x^k)。

最后把所有链都乘起来变成(A(x))，那么答案就是
[ 1+sum_{i=1}^{n-1}{nchoose i}[x^i]A(x) ]

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代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define templ template<typename T>
#define sz 401010
#define mod 998244353ll
typedef long long ll;
typedef double db;
mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
templ inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
inline void print(register int x)
{
if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='n';
}
void file()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
}
inline void chktime()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
cout<<(clock()-t)/1000.0<<'n';
#endif
}
#ifdef mod
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
#else
ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
#endif
//
inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n,_m,m;
int cc[sz];
ll _tmp[sz];
ll *a[sz];
int r[sz],limit;
void NTT_init(int n)
{
int l=-1;limit=1;
for (;limit<=n;limit<<=1) ++l;
rep(i,0,limit-1) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l);
}
void NTT(ll *a,int type)
{
rep(i,0,limit-1) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for (int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
{
ll Wn=ksm(3,(mod-1)/mid>>1);if (type==-1) Wn=inv(Wn);
for (int len=mid<<1,j=0;j<limit;j+=len)
{
ll w=1;
for (int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn%mod)
{
ll x=a[j+k],y=w*a[j+k+mid]%mod;
a[j+k]=(x+y)%mod;a[j+k+mid]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if (type==1) return;
ll I=inv(limit);
rep(i,0,limit-1) a[i]=a[i]*I%mod;
}
ll tmp[60][sz],len[60];
int st[60],top;
int NTT(int l,int r)
{
if (l==r)
{
int ret=st[top--];
rep(i,0,cc[l]) tmp[ret][i]=a[l][i];
len[ret]=cc[l];
return ret;
}
int mid=(l+r)>>1;
int L=NTT(l,mid),R=NTT(mid+1,r);
int cur=st[top--];
NTT_init(len[L]+len[R]+2);
NTT(tmp[L],1);NTT(tmp[R],1);
rep(i,0,limit-1) tmp[cur][i]=tmp[L][i]*tmp[R][i]%mod;
NTT(tmp[cur],-1);
len[cur]=len[L]+len[R];
rep(i,0,limit-1) tmp[L][i]=tmp[R][i]=0;
st[++top]=L;st[++top]=R;
return cur;
}
int main()
{
file();
read(n,_m);
int m=n,cur=0;
rep(i,1,_m) { read(cc[i]); m-=cc[i]-1; rep(j,1,cc[i]) read(cc[0]); }
rep(i,_m+1,m) cc[i]=1;
rep(i,1,m)
{
a[i]=_tmp+cur;
a[i][0]=a[i][cc[i]]=1;
rep(j,1,cc[i]-1) a[i][j]=2;
cur+=cc[i]+1;
}
rep(i,1,50) st[i]=i;
top=50;
int p=NTT(1,m);
ll ans=1;
rep(i,1,n-1) (ans+=tmp[p][i]*inv(ksm(2,1ll*i*(n-i)%(mod-1)))%mod)%=mod;
cout<<ans;
return 0;
}