概述
题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5203/B
一道很不错的题目,综合了多个知识点。
题意:给你n个数,判断能否在这n个数中选一些数组成3600的倍数。
先给这个题的一般形式。
给你n个数,判断能否在这n个数中选一些数组成m的倍数。
(1 ≤ n ≤ 1e6, 2 ≤ m ≤ 1e3)
然后我们可以发现一个01背包的解法(时间复杂度:O(n*m))
状态:dp[i][j]表示从1到i个数中能否选一些数组成m(0表示不可以,1表示可以)。
状态转移方程: dp[i + 1][(j + a[i]) % m] = 1 if dp[i][j] = 1
这里可以考虑用滚动数组优化一下。
但是这个时间复杂度肯定过不去,然后我们考虑优化。
有三种优化策略:二进制优化,bitset 或者 抽屉原理。
这里主要讲抽屉原理优化,其余的优化也会给出代码。
当n>=m的时候,肯定可以从这n个数中选择一些数组成m的倍数,直接输出YES即可。
为什么呢?利用一个取余的性质( (a + b) % mod = (a%mod +b%mod) % mod )以及抽屉原理.
下面给出证明(借鉴牛客上大佬的解释,链接:https://ac.nowcoder.com/acm/problem/blogs/13885):
定义sum数组为这n个数的前缀和数组,即sum[i]=a[1]+a[2]+.....a[i-1]+a[i]
分为两种情况考虑:
情况一:存在一个k(1 <= k <= n),使得sum[k] % m == 0,那么就得证;
情况二:对于任意的k(1 <= k <= n),都有sum[k] % m != 0,那么余数的种类只有 1 到 m-1 总共 m-1 种情况,但是有 m 个 sum,由抽屉原理可知必然有两个sum(假设为sum[i],sum[j],j > i)的余数相同。因此 (sum[j] - sum[i]) % m = (sum[j] % m - sum[i] % m) = 0;代码实现:
#include<stdio.h> #include<string.h> using namespace std; int a[150000]; int dp[3605],f[3605]; int main() { int t; scanf("%d",&t); while(t--) { int n;scanf("%d",&n); int m=3600; memset(dp,0,sizeof(dp)); memset(f,0,sizeof f); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); if(n>3600) printf("YESn"); else{ for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=0;j<=m-1;j++) f[j]=dp[j]; for(int j=m-1;j>=1;j--) if(dp[j]) f[(j+a[i]%m)%m]=1; f[a[i]%m]=1; for(int j=0;j<=m-1;j++) dp[j]=f[j]; } if(dp[0]) printf("YESn"); else printf("NOn"); } } }
二进制优化的代码(来自已退役的cds学长):
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> using namespace std; int V, s[3600], dp[18005]; void Alone(int use) { int v; for(v=V;v>=use;v--) { if(dp[v-use]==1) dp[v] = 1; } } void Every(int use) { int v; for(v=use;v<=V;v++) { if(dp[v-use]==1) dp[v] = 1; } } void Mulit(int n, int use) { int k; k = 1; while(k<n) { Alone(k*use%3600); n -= k; k *= 2; } Alone(n*use%3600); } int main(void) { int T, n, i, x; V = 18000; scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%d", &n); memset(s, 0, sizeof(s)); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d", &x); x %= 3600; s[x]++; } if(s[0]) { printf("YESn"); continue; } memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0] = 1; for(i=1;i<=3599;i++) { if(s[i]!=0) Mulit(s[i], i); } for(i=1;i<=5;i++) { if(dp[3600*i]) { printf("YESn"); break; } } if(i==6) printf("NOn"); } return 0; } /* 2 3 1800 3500 1900 6 3000 3000 3000 3000 3000 3000 */
bitset优化:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int T,n; int a[100005]; int main(){ scanf("%d",&T); while (T--) { scanf("%d",&n); for (register int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",&a[i]),a[i]%=3600; bitset<7201>dp; for (register int i=1; i<=n; ++i) { dp|=(dp<<a[i])|(dp<<a[i]>>3600); dp[a[i]]=1; } if (dp[0]) puts("YES"); else puts("NO"); } return 0; }
最后
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