【算法总结】01背包与完全背包模板整理逆序！顺序！

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我是靠谱客的博主欢喜金针菇，这篇文章主要介绍【算法总结】01背包与完全背包模板整理逆序！顺序！，现在分享给大家，希望可以做个参考。

三种背包的概念区分

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

比较三个题目，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

01背包

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

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 f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量v的背包时，它有两种情况：
第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]
第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]
（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）
最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

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要求将i个物品装进容量为j的背包的最大价值：即取以下俩个中的较大的一个
一个是：i-1个物品装进容量为（j）的背包的最大价值；
一个是：i-1个物品装进容量为（j减去第i个物品的重量）的背包的价值，再加上第i个物品的价值。

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

逆序！

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for i=1..N
for v=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

01背包模板

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//求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大
#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int nmax=1000;
int v[nmax];//v[i]表示第i个物品的价值value
int w[nmax];//w[i]表示第i个物品的重量weight
int dp[nmax];//总价值
int n,m;//n表示物品数量，m表示背包容量
int main(int argc, char** argv) {//一维数组实现的01背包模板
while(cin>>n>>m){
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>w[i]>>v[i];
}
for(int i=0;i<n;i++){//遍历n个物品
for(int j=m;j>=0;j--){//01背包容量 逆序遍历
if(j>=w[i]){
dp[j]=max(dp[j],(dp[j-w[i]]+v[i]));
}//第i个物体不选，dp[j]=dp[j];
//第i个物体若选	dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i]
}
}
cout<<dp[m]<<endl;
}
return 0;
}

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/*
//测试数据
//第一行:n,m
//接下来n行:w[i] v[i]
3 10
3 4
4 5
5 5
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*/

完全背包：
完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出：

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f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

同样可以转换成一维数组来表示：

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for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

伪代码如下：

顺序！

想必大家看出了和01背包的区别，这里的内循环是顺序的，而01背包是逆序的。

现在关键的是考虑：为何完全背包可以这么写？
在次我们先来回忆下，01背包逆序的原因？是为了是max中的两项是前一状态值，这就对了。
那么这里，我们顺序写，这里的max中的两项当然就是当前状态的值了，为何？

因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。

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#include <iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int nmax=1000;
int v[nmax];//v[i]表示第i个物品的价值value
int w[nmax];//w[i]表示第i个物品的重量weight
int dp[nmax];//总价值
int n,m;//n表示物品数量，m表示背包容量
int main(int argc, char** argv) {//一维数组实现的完全背包模板
while(cin>>n>>m){
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>w[i]>>v[i];
}
for(int i=0;i<n;i++){//遍历n个物品
for(int j=0;j<=m;j++){//完全背包容量 顺序遍历
if(j>=w[i]){
dp[j]=max(dp[j],(dp[j-w[i]]+v[i]));
}//第i个物体不选，dp[j]=dp[j];
//第i个物体若选	dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i]
}
}
cout<<dp[m]<<endl;
}
return 0;
}