异或的性质与应用定义性质自反性应用举例应用举例

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我是靠谱客的博主喜悦煎饼，最近开发中收集的这篇文章主要介绍异或的性质与应用定义性质自反性应用举例应用举例，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

定义

异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者 ^ 表示，其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位，同值取0，异值取1。它与布尔运算的区别在于，当运算符两侧均为1时，布尔运算的结果为1，异或运算的结果为0。

简单理解就是不进位加法，如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。

性质

1、交换律

2、结合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）

3、对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x

4、自反性 A XOR B XOR B = A xor 0 = A

自反性应用举例

异或运算最常见于多项式除法，不过它最重要的性质还是自反性：A XOR B XOR B = A，即对给定的数A，用同样的运算因子（B）作两次异或运算后仍得到A本身。这是一个神奇的性质，利用这个性质，可以获得许多有趣的应用。例如，所有的程序教科书都会向初学者指出，要交换两个变量的值，必须要引入一个中间变量。但如果使用异或，就可以节约一个变量的存储空间：设有A,B两个变量，存储的值分别为a，b，则以下三行表达式将互换他们的值表达式（值）：

A=A XOR B (a XOR b) (相当于给一个自反的半边，只需要配a或b即可)

B=B XOR A (b XOR a XOR b = a)

A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

类似地，该运算还可以应用在加密，数据传输，校验等等许多领域。

应用举例

1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现
一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空
间，能否设计一个算法实现？

解法一（朴素）

显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+…+1000的和。
这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。

解法二（异或）

异或就没有这个问题，并且性能更好。
将所有的数全部异或，得到的结果与 1 ^ 2 ^ 3 ^ … ^ 1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

但是这个算法虽然很简单，但证明起来并不是一件容易的事情。这与异或运算的几个特性有关系。

证明

首先是异或运算满足交换律、结合律。
所以，1^2^...^n^...^n^...^1000，无论这两个n出现在什么位置，都可以转换成为1^2^...^1000^(n^n)的形式。
其次，对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x。
所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有数的异或）。
令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的结果为T
则1^2^...^1000（序列中包含n）的结果就是T^n。
T^(T^n)=n。
所以，将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。

当然有人会说，1+2+…+1000的结果有高斯定律可以快速计算，但实际上1 ^ 2 ^ … ^ 1000的结果也是有规律的，算法比高斯定律还该简单的多。