训练第三周之dp-序列

本篇纯属抄袭协会ppt，以求以后能随时回顾。

1、最长递增子序列(LIS)

概念:

子串：指给定字符串中选取的某一连续的段

子序列：可以不连续，但是要保证原字符串的顺序

例：给定字符串{A,B,C,D,E}

{A,B,C}既是子串，又是子序列。
{A,C,E}仅为子序列。

最长递增子序列：即子序列的元素是递增的。

求法：

假设有x个元素组成的序列，以第i个元素结尾的最长递增子序列长度为dp[i]。此时在序列末加上第x+1个元素，那么dp[x+1]=？

例：有一个序列{1,3,5,2}。
以1结尾的LIS只有{1}，dp[1]=1。
以3结尾的LIS有{3}{1,3}，dp[2]=2。
以4结尾的LIS有{5}{1,5}{3,5}{1,3,5}，dp[3]=3。
以2结尾的LIS只有{2}{1,2}，dp[4]=2
那么如果序列末加上元素4，dp[5]如何由已知的dp[1],dp[2],dp[3],dp[4]得到呢？

首先，以4结尾的子序列一定有{4}，所以dp[5]=1先与第一个元素比较，4>1，以1结尾的最大递增子序列末尾加上元素4，构成新的子序列也一定是递增的。所以dp[5]=max{dp[5],dp[1]+1}而当与第三个元素比较，4<5，不能在以5结尾的LIS的基础上构成新的LIS，所以不更新dp[5]的值。

由此可以得出状态转移方程为dp[i]=max{dp[i],dp[j]+1}(a[i]>a[j]&&i>j)

伪代码：

For i=1…n
dp[i]=1
For i=1...n
For j=1...i-1
if a[i]>a[j]
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)

2、最长公共子序列(LCS)

概念：

定义：给定两个序列，求他们相同的子序列中最长的长度。

例如：X={A,B,C,B,D,A,B}，Y={B,D,C,A,B,A}。肉眼可以看出其中一个LCS={B,D,A,B}（不唯一）,长度为4。

如何求解？

首先我们定义dp[i][j]=LCS{X[1…i],Y[1…j]}在已知dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1]的情况下，怎么求解dp[i][j]？

如果x[i]=y[j]，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1假设z[1…k]=LCS{X[1…i],Y[1…j]}，那么z[k]=x[i]。为什么？反证法。那么z[1…k-1]=LCS{X[1…i-1],Y[1…j-1]}，即dp[i-1][j-1]

如果x[i]!=y[j]，dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i][j-1]}

求最长公共子串也差不多:

if(xi==yj) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

else dp[i][j]=0;

3、连续子序列最大和：

if(dp[i-1]>0) dp[i]=dp[i-1]+a[i]；如果dp[i-1]>0,那么dp[i-1]+a[i]>a[i]

else dp[i]=a[i]；否则一定小于a[i]

最后

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