【机器学习】逻辑回归——数学原理推导

以逻辑回归的二分类模型作出如下推导：

1. 定义
在线性回归上套一层sigmoid函数
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

$$y=h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}x)=\frac{1}{1+e^{-{\theta }^{T}x}}=\frac{1}{1+e^{-({\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n)}}$$

注：$x_0$是为了便于计算，人为增添的一列，值全为1

这里对函数$g(z)$进行下求导运算，后面推导会用到。

$g^{\prime }(z)=(\frac{1}{1+e^{-z}}{)}^{\prime }$

$=\frac{e^{-z}+1-1}{{(1+e^{-z})}^2}$

$=\frac{1}{1+e^{-z}}-\frac{1}{{(1+e^{-z})}^2}$

$=g(z)(1-g(z))$

2. 计算概率
假定：

• $p(y=1|x;\theta )=h_{\theta }(x)$
• $p(y=0|x;\theta )=1-h_{\theta }(x)$

组合上述两式：

$p(y|x\theta )=h_{\theta }(x{)}^{y_i}(1-h_{\theta }(x){)}^{1-y_i}$

$y$是标签，正类标记1，负类标记0

3. 极大似然估计

$L(\theta )={\prod }_{i=1}^m(h_{\theta }(x_i{)}^{y_i}(1-h_{\theta }(x_i){)}^{1-y_i}))$

取对数，转累加

$l(\theta )=\ln L(\theta )$

$={\sum }_{i=1}^m\ln (h_{\theta }(x_i{)}^{y_i}(1-h_{\theta }(x_i){)}^{1-y_i}))$

$={\sum }_{i=1}^m[y_i\ln h_{\theta }(x_i)+(1-y_i)\ln (1-h_{\theta }(x_i))]$

说明：

• 当y=1时，我们期望$p(y=1|x;\theta )$的值越大，即预测结果为正类的概率越大，误差就越小
• 当y=0时，我们期望$p(y=0|x;\theta )$的值越大，即预测结果为负类的概率越大，误差也越小

因此我们的目标是求取似然函数$l(\theta )$的最大值。

4. 损失函数

对似然函数求最大值需要使用梯度上升的方式，这里我们引入$J(\theta )=-l(\theta )$，转化为使用梯度下降的方式计算损失函数的最小值。

5. 梯度下降

$\frac{\partial }{\partial \theta }J({\theta }_j)=-\frac{\partial }{\partial \theta }{\sum }_{i=1}^m[y_i\ln h_{\theta }(x_i)+(1-y_i)\ln (1-h_{\theta }(x_i))]$

$=-{\sum }_{i=1}^m[y_i\frac{1}{h_{\theta }(x_i)}\frac{\partial }{\partial \theta }{h}_{\theta }(x_i)-(1-y_i)\frac{1}{1-h_{\theta }(x_i)}\frac{\partial }{\partial \theta }{h}_{\theta }(x_i)]$

$=-{\sum }_{i=1}^m[y_i\frac{1}{h_{\theta }(x_i)}-(1-y_i)\frac{1}{1-h_{\theta }(x_i)}]\frac{\partial }{\partial \theta }{h}_{\theta }(x_i)$

$=-{\sum }_{i=1}^m[y_i\frac{1}{g({\theta }^{T}x)}-(1-y_i)\frac{1}{1-g({\theta }^{T}x)}]\frac{\partial }{\partial \theta }g({\theta }^{T}x)$

$=-{\sum }_{i=1}^m[y_i\frac{1}{g({\theta }^{T}x)}-(1-y_i)\frac{1}{1-g({\theta }^{T}x)}]g({\theta }^{T}x)(1-g({\theta }^{T}x))\frac{\partial }{\partial \theta }{\theta }^{T}x$

$=-{\sum }_{i=1}^m[y_i(1-g({\theta }^{T}x))-(1-y_i)g({\theta }^{T}x)]x_i^{(j)}$

$=-{\sum }_{i=1}^m[y_i-g({\theta }^{T}x)]x_i^{(j)}$

$={\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^{(j)}$

更新参数：

${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha {\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x_i)-y_i)x_i^{(j)}$

最后

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