1、基本概念

1.1 方向导数

1.2 梯度的概念

如果考虑z=f(x,y)描绘的是一座在点(x,y)的高度为f(x,y)的山。那么，某一点的梯度方向是在该点坡度最陡的方向，而梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。

对于含有n个变量的标量函数，其梯度表示为 

1.3 梯度与方向导数

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

1.4 梯度与等高线

函数z=f(x)在点P(x,y)的梯度的方向与过点的等高线f(x,y)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。

即负梯度方向为最速下降方向。

1.5 等高面

对于二次函数 
 
其中A为n*n的对称正定矩阵，x-为一定点，则函数f(x)的等值面f(x,y)=c是一个以x-为中心的椭球面。

此椭球面的形状受 Hesse 矩阵的条件数影响，长轴与短轴对应矩阵的最小特征值和最大特征值的方向，其大小与特征值的平方根成反比，最大特征值与最小特征值相差越大，椭球面越扁。

矩阵的条件数：矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖，是用来判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。

1.6 Hesse 矩阵

在牛顿法中应用广泛，定义为 

1.7 Jacobi矩阵

前面讲的都是从n维空间到一维空间的映射函数，对于从n维欧式空间变换到m维欧式空间的函数f，也可以表示成由m个实函数组成y=f(x)=[y1(x1,…xn),…ym(x1,…,xn)]T。对于函数f，如果其偏导数都存在，可以组成一个m行n列的矩阵，即所谓的Jacobi矩阵： 

显然， 当f(x) 是一个标量函数时，Jacobi矩阵是一个向量，即f(x)的梯度，此时Hesse 矩阵是一个二维矩阵；当f(x)是一个向量值函数时，Jacobi 矩阵是一个二维矩阵，Hesse 矩阵是一个三维矩阵。

1.8 共轭方向

先给出共轭方向的定义： 

当A为单位阵时，这两个方向关于A共轭将等价于两个方向正交，可见共轭是正交概念的推广。

我们在来看共轭方向的几何意义。 
前面提到过二次函数 
 
的等值面f(x,y)=c是一个以x-为中心的椭球面。设x^(1)为此椭球面边缘的一点，则x^(1)处的法向量为 
 
将其中后面一项记作 
 
即由x(1)指向椭圆面中心x-的向量。 
下面，设d^(1)为此椭球面在x(1)处的切向量，由于切向量d^(1)与法向量delta f(x(1))正交，即 

可见，等值面上一点处的切向量与由此点指向极小点的向量是关于A共轭的。

因此，极小化上述二次函数，若依次沿着d^(1)和d^(2)进行一维搜索，则经过两次迭代必达到极小点。

1.9 一维搜索

在许多迭代下降算法中，具有一个共同点，就是得到x(k)后，按某种规则确定一个方向d(k)，再从x(k)除法，沿方向d(k)在直线上求目标函数f(x(k)+lambda*d(k))的的极小点，从而得到x(k)的后继点x(k+1)，这里求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索，或者线搜索，可以归结为单变量lambda的极小化问题。确定的lambda可以成为步长。

一维搜索方法很多，大致可以分为试探法和函数逼近法（插值法）。当然，这两种方法都是求得即小的的近似值。

试探法包括0.618法、Fibonacci法、进退法、平分法等。

函数逼近法包括牛顿法、割线法、抛物线法、三次插值法、有理插值法等。

2、梯度下降法（最速下降法）

即利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法。核心迭代公式为 

其中，pk是第k次迭代时选取的移动方向，在梯度下降法中，移动的方向设定为梯度的负方向。 
ak是第k次迭代是移动的步长，每次移动的步长可以固定也可以改变。在数学上，步长可以通过line search令导数为零找到该方向上的最小值，但是在实际编程时，这样计算的代价太大，我们一般可以将它设定位一个常量。

因此，梯度下降法计算步骤可以概括为 

如果目标函数是一个凸优化问题，那么梯度下降法获得的局部最优解就是全局最优解，理想的优化效果如下图，值得注意一点的是，每一次迭代的移动方向都与出发点的等高线垂直： 

实际上，梯度还可以提供不在最快变化方向的其他方向上坡度的变化速度，即在二维情况下，按照梯度方向倾斜的圆在平面上投影成一个椭圆。椭球面的形状受 Hesse 矩阵的条件数影响，椭球面越扁，那么优化路径需要走很大的弯路，计算效率很低。这就是常说的锯齿现象（ zig-zagging），将会导致收算法敛速度变慢。

3、牛顿法

前面提到的梯度下降法，主要利用的是目标函数的局部性质，具有一定的“盲目性”。 
牛顿法则是利用局部的一阶和二阶偏导信息，去推测整个目标函数的形状，进而可以求得近似函数的全局最小值，然后将当前的最小值设定为近似函数的最小值。也就是说，牛顿法在二阶导数的作用下，从函数的凸性出发，直接搜索怎样到达极值点，即在选择方向时，不仅考虑当前坡度是否够大，还会考虑走了一步之后，坡度是否会变得更大。 
相比最速下降法，牛顿法带有一定对全局的预测性，收敛性质也更优良。当然由于牛顿法是二阶收敛的，比梯度下降法收敛的更快。

假设我们要求f(x)的最小值，首先用泰勒级数求得其二阶近似 

显然这里x是自变量，x^(k)是常量，求解近似函数phi(x)的极值，即令其倒数为0，很容易得到 

从而得到牛顿法的迭代公式 

显然除了f(x)二次可微外，还要求f(x)的Hesse矩阵可逆。此外，由于矩阵取逆的计算复杂为 n 的立方，当问题规模比较大时，计算量很大，解决的办法是采用拟牛顿法，如 BFGS, L-BFGS, DFP, Broyden’s Algorithm 进行近似。

此外，如果初始值离局部极小值太远，泰勒展开并不能对原函数进行良好的近似，导致牛顿法可能不收敛。

我们给出阻尼牛顿法的计算步骤，其实阻尼牛顿法相较原始牛顿法只是增加了沿牛顿方向的一维搜索： 

4、共轭梯度法

共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点。

共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。根据共轭方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。

共轭梯度法中的核心迭代过程可以采取不同的方案，一种是直接延续，即总是用d^(k+1)=-g(k+1)+beta_k*d^(k)构造搜索方向；一种是把n步作为一轮，每搜索一轮之后，取一次最速下降方向，开始下一轮，此种策略称为“重置”。 
下面我们介绍一种传统的共轭梯度法

注意，上述算法中均假设采用的精确一维搜索，但实际计算中，精确一维搜索会带来一定困难，代价较大，通常还是采用不精确的一维搜索。但此时（4）中构造的搜索方向可能就不是下降方向了，解决这个问题有两个方法。 
其一，当d^(k+1)不是下降方向时，以最速下降方向重新开始。事实上，这也存在问题，但一维搜索比较粗糙时，这样重新开始可能是大量的，会降低计算效率。 
其二，在计算过程中增加附加的检验，具体细节可以参考陈宝林老师的“最优化理论与方法”的P301。