超越函数e^(-x^2)在(-∞, +∞)上的定积分的两种解法

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令 $i = int_{-infty }^{+infty }e^{-x^{2}}dx$

解法一 二重积分+极坐标

$i^{2} = int_{-infty }^{+infty }e^{-x^{2}}dxint_{-infty }^{+infty }e^{-y^{2}}dy$

$= iint e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$

$= iint e^{-r^{2}}rdrdtheta$

$dpi{120} = int_{0}^{2pi} dtheta int_{0 }^{+infty} e^{-r^{2}}rdr$

$= theta mid_{0}^{2pi} cdot (-frac{1}{2}e^{-r^{2}}mid_{0 }^{+infty })$

$= 2picdot frac{1}{2}$

$= pi$

故 $i = sqrt{pi}$

解法二 Γ函数+余元公式

$i = int_{-infty }^{+infty }e^{-x^{2}}dx$

$dpi{120} = 2int_{0}^{+infty }e^{-t}frac{1}{2}t^{-frac{1}{2}}dt$

$= int_{0}^{+infty }e^{-t}t^{-frac{1}{2}}dt$

$= gamma (frac{1}{2})$

又由余元公式，有

$gamma (s)gamma (1-s) = frac{pi }{sinpi s} (0< s < 1)$

于是

$dpi{120} i^{2}=frac{pi}{sinfrac{pi}{2}} =pi$

故 $i = sqrt{pi}$

最后

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本文分类：数学
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发布日期：2023-11-26 01:30:08
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