欧几里得算法与扩展欧几里得算法（求二元一次不定方程、乘法逆元）

1.欧几里得算法，即辗转相除法。用于求两个整数的最大公约数比较方便，时间复杂度为O（logN）N为两个整数的规模。
最大公约数，是能够同时被两个整数整除的最大整数。
比如说，求56和21的最大公约数：（每行数分别代表a=56,b=21,a%b）
56 21 14
21 14 7
14 7 0
7 0
此时得到最大公约数为7。
递归代码如下：

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int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

2.扩展欧几里得算法
顾名思义，扩展欧几里得算法就是对欧几里得算法的扩展，可以应用于求二元一次方程的通解、乘法逆元等。
对于上面的欧几里得算法，当递归到出口时，a=7,b=0。很容易就可以得到一组ax+by=7的解：x=1,y=0。
那么如何通过7x+y=7的解逆推出56x+21y=7的解呢？

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	对于欧几里得算法的每一个状态，都存在ax+by=gcd(a,b)的解，我们假设有这样两组解（且他们为相邻状态）：
ax1+by1=gcd(a,b)
a'x2+b'y2=gcd(a',b')
那么可以知道：a'=b
b'=a%b
且gcd(a',b')=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)，所以有
ax1+by1=bx2+(a%b)y2
另a%b可写为 a-a/b
所以有
ax1+by1=bx2+(a-(a/b)b)y2
故	ax1+by1=ay2+bx2+(a/b)by2
故	ax1=ay2
by1 = b(x2+ (a/b)by2)
故
x1=y2
y1 = x2 +(a/b)y2

故可以得到x1,y1与x2,y2的关系 : x1=y2 y1 = x2 +(a/b)y2
我们已知的是最后一组解，那么就要根据最后一组解逆推上去，就可以得到ax+by=gcd(a,b)的一组解了。
代码如下：

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int exgcd(int a, int b, int&x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exgcd(b, a%b, x, y);
//递归到求出公约数，开始倒着求每一组的x,y。最后就得到这样一组特解了。
int t = x;
x = y;
y = t - (a / b)*y;
return r;
}

现在，通过扩展欧几里得算法，可以求出ax+by=gcd(a,b)的一组特解。那么如何求其通解呢？

3.二元一次方程通解
假设求得的特解为ax0+by0=r ,r=gcd(a,b).
ax0+by0+ab*k-ab*k=r
a(x0+b*k)+b(y0-a*k)=r
x=x0+b*k 、y=y0-a*k
这样写，可能不同组解的跨度太大了，所以可以写成
x=x0+(b/r)*k 、 y=y0-(a/r)*k

对于ax+by =c，而c不是a和b的最大公约数 ，其通解可以用 ax+by=gcd(a,b)的通解乘上 c/gcd(a,b)即可。

这里好像有一个贝祖定理：：对于给定的正整数a，b，方程ax+by=c有整数解的充要条件为c是gcd（a，b）的整数倍。

4.乘法逆元
另外，扩展欧几里得算法还可以用来求乘法逆元，首先看乘法逆元的定义：
如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则称a关于模p的乘法逆元为x。通俗点讲就是 a*x的结果取余p为1。这样就可以转换成求ax+py=1的解。

最后

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