基于二次规划的模型预测控制MPC方法（算法推导与MATLAB建模）

公式推导参考链接，以下工作来自于b站Dr_can博士

一般情况下，状态空间，或者叫做动力学模型离散表达为：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)$$

MPC是目前自动驾驶领域比较流行的控制框架，主要分为动力学预测，优化求解，滚动控制三个部分。其中，优化求解方法有多种，譬如说凸优化、二次规划等等。凸优化要求状态约束满足凸集的形式，也有相关凸化的方法，但是求解过程往往十分复杂，非常耗时。二次规划方法在求解方面有天然优势，因此受到了MPC控制框架的青睐。

对于约束部分，在二次规划问题中，只能处理线性约束，譬如等式约束或者是不等式约束，需要考虑实际的情况。在简单情况下，也可以不考虑相关线性约束。

MPC需要使用动力学模型对状态量进行预测，设定预测步数为N，那么状态量表示为：

$$X(k)=\left[\begin{array}{c}x(k\mid k)\\ x(k+1\mid k)\\ ⋮\\ x(k+i\mid k)\\ ⋮\\ x(k+N\mid k)\end{array}\right]$$

控制量表示为：

$$\mathbf{U}(k)=\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}(k\mid k)\\ \mathbf{u}(k+1\mid k)\\ ⋮\\ \mathbf{u}(k+i\mid k)\\ ⋮\\ \mathbf{u}(k+N-1\mid k)\end{array}\right]$$

将预测过程写入到矩阵中，方便进行优化求解，则有如下：

$$X(k)=Mx(k)+CU(k)$$

其中，

$$\mathbf{M}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_{n\times n}\\ {\mathbf{A}}_{n\times n}\\ {\mathbf{A}}^2\\ ⋮\\ {\mathbf{A}}^N\end{array}\right]$$

$$C=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \dots & ⋮\\ 0& 0& & 0\\ B& 0& \dots & 0\\ AB& B& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0\\ A^{N-1}B& A^{N-2}B& \dots & B\end{array}\right]$$

因此，考虑到控制燃料最优，最终点约束和预测状态约束等问题，惩罚函数为：

$$J=\sum _{i=0}^{N-1}\left(\mathbf{x}(k+i\mid k{)}^T\mathbf{Q}\mathbf{x}(k+i\mid k)+\mathbf{u}(k+i\mid k{)}^T\mathbf{R}\mathbf{u}(k+i\mid k)\right)+\mathbf{x}(k+N\mid k{)}^T\mathbf{F}\mathbf{x}(k+N\mid k)$$

转换成为二次规划的形式，如下：

$$J=\mathbf{x}(k{)}^T\mathbf{G}\mathbf{x}(k)+\mathbf{U}(k{)}^T\mathbf{H}\mathbf{U}(k)+2\mathbf{x}(k{)}^T\mathbf{E}\mathbf{U}(k)$$

其中，

$$\begin{array}{l}\bar{G}=M^T\bar{Q}M\\ \bar{E}=C^T\bar{Q}M\\ \bar{H}=C^T\bar{Q}C+\bar{R}\end{array}$$

其中，

$$\overline{\mathbf{Q}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{Q}& \cdots & \\ ⋮& \mathbf{Q}& ⋮\\ & \cdots & \mathbf{F}\end{array}\right]\overline{\mathbf{R}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{R}& \cdots & \\ ⋮& \ddots & ⋮\\ & \cdots & \mathbf{R}\end{array}\right]$$

在代价函数中，第一项对于二次规划无关紧要可以忽略。第二、三项即为二次规划的一般形式。通过二次规划求解，就能获得优化控制量$U_k$，选取第一个控制量作为系统的输入，进行求解即可。

举例，具体形式为：

$$\left[\begin{array}{l}{x}_1(k+1)\\ x_2(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0.1\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1(k)\\ x_2(k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0.5\end{array}\right]u(k)$$

设定初始值，并进行求解控制量即可，相关代码如下。

如果有完整的动力学模型，可以进行第三步—滚动优化，将每次优化得到的$u_k$作为控制量实现滚动控制。这里省略相关动力学模型更新，传感器观测等建模过程。

A = [1,0.1;0,2];
B = [0;0.5];
N = 10;
x_k = [5;5];
Q = [1,0;0,1];
R = [0.1];
F = Q;
[M,C,Q_bar,R_bar,G,E,H,U_k] = MPC_Zero_Ref1(A,B,N,x_k,Q,R,F)
function [M,C,Q_bar,R_bar,G,E,H,U_k] = MPC_Zero_Ref1(A,B,N,x_k,Q,R,F)
n = size(A,1);
p = size(B,2);
M = [eye(n);zeros(N*n,n)];
C = zeros((N+1)*n,N*p);
tmp = eye(n);
for i = 1:N
rows = i*n+(1:n);
C(rows,:) = [tmp*B,C(rows-n,1:end-p)];
tmp = A*tmp;
M(rows,:) = tmp;
end
S_q = size(Q,1);
S_r = size(R,1);
Q_bar = zeros((N+1)*S_q,(N+1)*S_q);
for i = 0:N
Q_bar(i*S_q+1:(i+1)*S_q,i*S_q+1:(i+1)*S_q) = Q;
end
Q_bar(N*S_q+1:(N+1)*S_q,N*S_q+1:(N+1)*S_q) = R;
R_bar = zeros(N*S_r,N*S_r);
for i = 0:N-1
R_bar(i*S_r+1:(i+1)*S_r,i*S_r+1:(i+1)*S_r) = R;
end
G = M'*Q_bar*M;
E = C'*Q_bar*M;
H = C'*Q_bar*C + R_bar;
f = (x_k'*E')';
U_k = quadprog(H,f);
end

最后

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