我个人认为麻省理工线性代数这门课，到二十一讲才真正进入有用的部分，因此从这一讲开始做笔记。

一，概念

满足条件：Ax=λx

解释：当向量x经过矩阵A变换后，效果等于向量x乘上任意常数λ

则：x是矩阵A的特征向量，λ是矩阵A的特征值

二，性质

性质1：如果A是奇异矩阵，且Ax=0，则x是0空间的非0向量，λ=0

注：奇异=不可逆=线性相关，非奇异=可逆=线性无关

性质2：λ的和=A的迹trace

解释：A的迹trace表示，矩阵A对角元素的和

性质3：λ的积=det(A)

解释：det(A)表示，A的行列式的值

三，求λ和x

把Ax=λx化为(A-λI)x=0，发现必须满足：det(A-λI)=0

因为如果det(A-λI)≠0，则x只有0解（$x\equiv 0$），不存在特征向量

第一步：求出λ，通过det(A-λI)=0

二阶矩阵的特征值是如下方程的解：
${\lambda }^2-trace(A)\lambda +detA=0$

第二步：求出x，通过(A-λI)x=0

注：用高斯若尔当消元法
特征向量之间必须线性无关，但不一定互相垂直

四，矩阵平移

(A+αI)x=Ax+αx=λx+αx=(λ+α)x，α∈R

解释：α表示，矩阵A对角元素的平移量

如果Ax=λx，By=αy，则(A+B)x≠(λ+α)x，因为x≠y

解释：特征向量不同，则特征值不能相加

五，90°旋转矩阵的特征值是复数

$Q=\left[\begin{array}{cc}cos90°& -sin90°\\ sin90°& cos90°\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$
计算特征值：${\lambda }_1=i,{\lambda }_2=-i$
实数特征向量只有0向量

性质1：如果一个矩阵具有复数特征值 a+bi 则，它的共轭复数 a-bi 也是矩阵的特征值
性质2：实数特征值让特征向量伸缩，而虚数让其旋转

六，对称矩阵和反对称矩阵的特征值

对称矩阵（$A^T=A$ ，具有伸缩性）的特征值是纯实数
反对称矩阵（$A^T=-A$ ，具有旋转性）的特征值是纯虚数
上面两种是极端情况，夹在这两种矩阵中间的矩阵（部分对称或部分反对称），特征值是实数和虚数的结合

七，退化矩阵的特征值

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right]$
计算特征值是相同的：${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=3$
特征向量只有一个：$x=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$
没有线性无关的另一个特征向量（退化了）

最后

以上就是超级冬天为你收集整理的第二十一讲 特征值和特征向量一，概念二，性质三，求λ和x四，矩阵平移五，90°旋转矩阵的特征值是复数六，对称矩阵和反对称矩阵的特征值七，退化矩阵的特征值的全部内容，希望文章能够帮你解决第二十一讲 特征值和特征向量一，概念二，性质三，求λ和x四，矩阵平移五，90°旋转矩阵的特征值是复数六，对称矩阵和反对称矩阵的特征值七，退化矩阵的特征值所遇到的程序开发问题。

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