MATLAB中的微积分运算（数值&符号）

 

显然这个函数是单词differential（微分）的简写，用于计算微分。实际上准确来说计算的是差商。

如果输入一个长度为n的一维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算一阶导数的有限差分近似。

 

(1)符号微分

 1.常用的微分函数

函数:diff(f)     求表达式f对默认自变量的一次微分值

       diff(f,x)  求表达式f对自变量x的一次积分值

       diff(f,n)  求表达式f对默认自变量的n次微分值

       diff(f,t,n)求表达式f对自变量t的n次微分值

>> x=1:10
x =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
>> diff(x)
ans =
1
1
1
1
1
1
1
1
1

　　

例1:求矩阵中各元素的导数

求矩阵[1/(1+a)  (b+x)/cos(x)

         1/(x*y)   exp(x^2)]

对x的微分,可以输入以下命令

A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');
B = diff(A,'x')

 可得到如下结果:

 

例2:求偏导数

求的偏导数。

syms x y;
f = x*exp(y)/y^2;
fdx = diff(f,x)
fdy = diff(f,y)

 可得到如下结果：

 

例3:求复合函数的导数

求的导数

sym('x');
y = 'x*f(x^2)'
y1 = diff(y,'x')

 得到结果如下：

例4:求参数方程的导数

对参数方程求导

syms a b t
f1 = a*cos(t);
f2 = b*sin(t);
A = diff(f2)/diff(f1) %此处代入了参数方程的求导公式
B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3
%求二阶导数

 可得到如下结果：

例5:求隐函数的导数

求的一阶导数

 

syms x y
p = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'
%隐函数可进行整体表示
%注意y（x）这种写法，它代表了y是关于x的函数
p1 = diff(p,x)

 可得到如下结果：

2.符号积分

 1符号函数的不定积分

函数:int

功能:求取函数的不定积分

语法:

         int(f)   

         int(f,x)

说明:第一个是求函数f对默认自变量的积分值;第二个是求自变量f对对自变量t的不定积分值。

 

例：分别求函数f（x）=（3-x²）³、的不定积分。

x = sym('x');
%函数的输入
f1 = (3-x^2)^3;
f2 = sqrt(x^3 + x^4);
%对函数进行积分
intf1 = int(f1)
intf2 = int(f2)

 可得结果如下：

 

2符号函数的定积分

函数:int

功能:求取函数的定积分

语法:

         int(f,a,b)

         int(f,x,a,b)

说明:第一个是求表达式f对默认自变量的定积分值，积分区间为

[a,b];第二个是求表达式f对自变量x的定积分值，积分区间为[a，b]。

例：分别求、、、的定积分。

syms x t
%输入函数方程式
f1 = abs(1-x);
f2 = 1/(1+x^2);
f3 = 4*t*x;
f4 = x^3/(x-1)^100;
%求取函数积分
intf1 = int(f1,1,2)
intf2 = int(f2,-inf,+inf)
intf3 = int(f3,2,sin(t))
intf4 = int(f4,2,3)

 可得到如下结果：

 

(2)数值微分

在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff。

函数:diff

功能:求取数值微分

语法:

          DX = diff(X)

          DX = diff(X,n)

          DX = diff(X,n,dim)

说明:第一个计算向量X的向前差分，即DX(i) = X(i+1)-X(i),i=1,2,...,n-1。第二个是计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。第三个计算矩阵A的n阶差分，当dim=1或缺省状态时，按行计算差分；dim=2，按列计算差分。

 例：设x由[0,2π]间均匀分布的10个点组成，求sinx的1到3阶差分。

x = linspace(0,2*pi,10);
y = sin(x);
Dy = diff(y)
Dy2 = diff(y,2)
Dy3 = diff(y,3)
plot(x,y,'B');hold on
plot(Dy,'Y');plot(Dy2,'G');plot(Dy3,'R');
title('sinx的1到3阶差分')
xlabel('x');ylabel('y')

 

可得到结果如下

图形如下:

注:二维图形常用设置选项

例：求函数的数值微分，并画出函数图比较

x = 0:0.01:2 %数值微分&积分需要先确定数值的范围，这一点与符号微分&积分有所不同。
f = x.^2.*cos(x)./(3*x+2)
Df = diff(f)
plot(x,f,'r')
hold on
y = x(1:200);
plot(y,Df,'b')
legend('函数图','微分图')

　　

可得到如图所示图线

数值积分

求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生（Simpson）法、牛顿-科特斯（Newton-Cotes）法等都是经常采用的方法。他们的基本思想都是将整个积分区间[a，b]分成n个子区间[x_i，x_i+1],i = 1,2,…,n，其中x₁=a，x_n+1=b。这样求定积分问题就变成了求和问题。

1、变步长辛普森法

基于变步长辛普森法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。

函数：quad

功能：求取基于变步长辛普森法的数值定积分。

语法：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)

说明：fname是被积函数名（需要新建一个函数）。a和b分别是定积分的上限和下限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol = 10^-6,。trace控制是否展现积分过程，取非0为展现积分过程，取0则不展现，缺省时trace = 0.返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。

例：用变步长辛普森法计算函数f（x）=e-0.2xsin（x+π/3）在区间[0.3π]的定积分

首先建立被积函数文件fesin.m

function f = fesin(x)
f = exp(-0.2*x).*sin(x+pi/3);

　　

然后调用数值积分函数quad来求定积分

[S,n] = quad('f',0,3*pi)

　　

2、牛顿-科斯特法

在MATLAB中，使用Newton-Cotes来求取定积分函数为quadl。

函数：quadl

功能：基于Newton-Cotes法来求数值定积分

语法：[I,n] = quadl('fname',a,b,lol,trace)

说明：参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证以更高的效率求出所需的定积分值。