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1、第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法,第二节 潮流计算的节点功率方程和节点分类,第三节 潮流计算的牛顿-拉夫逊法,第一节 网络方程式,第四节 牛顿-拉夫逊潮流计算中的收敛性和稀疏技术,第五节 其他潮流计算方法简介,第一节 网络方程式,网络方程：反映系统中电流与电压之间相互关系的数学方程； 如节点电压方程、回路电流方程、割集电压方程等，一般来讲，由于系统的等值电路中的接地支路较多，采用节点电压方程时的方程数比回路电流少，故在电力系统潮流计算中大都采用节点电压方程。,基本概念,1、网络方程的形成,用节点导纳矩阵表示的网络方程式,一般规定：外部向系统注入的功率为节点功率的正方向，且在等值电路中，与节。

2、点注入功率相对应的电流称为节点注入电流，它的规定正方向与注入功率一致。,以书本图4-1为例形成节点导纳矩阵表示的网络方程式。,推导出一般情况,简写,自导纳,互导纳,2、节点导纳矩阵的物理意义和特点,Yii节点i自导纳，等于与i相连所有支路导纳之和； Yij节点i，j间的自导纳，等于节点i，j间支路导纳的负值,例 1 求节点导纳矩阵,网络中的参数均以电抗标么制给定，试求电力网络的节点导纳矩阵。,补充知识：导纳矩阵的修改,增加一节点,增加一条支路,切除一条支路,修改一条支路的导纳值( yij 改变为yij ),修改一条支路的变压器变比值( k*改变为k* ),用节点阻抗矩阵表示的网络方程式,1、阻。

3、抗矩阵形式网络方程的形成,简写,节点阻抗距阵的特点： 1、N阶数、对称性 2、满阵 3、不容易求得,2、节点阻抗矩阵的物理意义和特点,第二节 潮流计算的节点功率方程和节点分类,极坐标表示的节点功率方程,简单系统的等值网络,第一步：,第二步：,第三步：,相位差决定潮流分布,直角标表示的节点功率方程,节点电压相量用实部和虚部表示,节点的分类,一般节点 负荷节点：该节点上没有发电机而只有负荷； 发电机节点：该节点上只有发电机而没有负荷； 联络节点：该节点上既没有发电机，也没有负荷；,约束条件,实际电力系统运行要求： 电能质量约束条件：Uimin Ui Uimax 电压相角约束条件 |ij|=| i 。

4、- j | ijmax, 稳定运行的一个重要条件。 有功、无功约束条件 Pimin Pi Pimax Qimin Qi Qimax,潮流计算中的节点分类,电力系统有n个节点，每个节点可能有4个变量，则共有4n个变量，而上述功率方程只有2n个，所以需要事先给定2n个变量的值。根据各个节点的已知量的不同，分成三类：PQ节点、PV 节点、平衡节点。 PQ节点：给定的是注入有功功率P和注入无功功率Q；待求量是节点电压有效值U和电压的相位。 PV节点：给定的是注入有功功率P和节点电压有效值U；待求量是节点的注入无功功率和电压的相位。 平衡节点：给定的是节点电压有效值U和电压的相位 ；待求量是节点的注入无。

5、功功率Q和注入有功功率P。也称为V- 节点、松弛节点或电压参考节点,设置平衡节点的目的,在结果未出来之前，网损是未知的，至少需要一个节点的功率不能给定，用来平衡全网功率。,电压计算需要参考节点。,第三节 潮流计算的牛顿-拉夫逊法,一、N-R的原理和一般方法,1. 非线性方程的求解：,f(x)=0 设：x(0)为的初始近似解，x(0)为与真实解的偏差 则：x= x(0) x(0) f(x(0) x(0)=0 按Taylors展开 f(x(0) x(0)= f(x(0)- f(x(0)x(0)+.+(-1)n fn(x(0) (x(0)n/n!+.=0,由于x(0)较小，故忽略高次项后： f(x(。

6、0) x(0)= f(x(0)- f(x(0)x(0) =0 x(0) = f(x(0)/ f(x(0) x(1) = x(0) - x(0) = x(0) - f(x(0)/ f(x(0) k次迭代时修正方程为： f(x(k)- f(x(k)x(k) =0 x(k) = f(x(k)/ f(x(k) x(k+1) = x(k) - f(x(k)/ f(x(k),结束迭代的条件(收敛)：|f(x(k)|1 或 |x(k)|2,物理意义,初值不当不收敛,2. 非线性方程组的求解：,推广于(6-16)表示的多变量非线性方程组,式中 为函数 fi(x1,x2,.xn) 对自变量 xj 的偏导在初始值。

7、处的值,用矩阵表示,得到新的近似解：,更一般的表示,第k+1次迭代后的解为：,可简写为： F(x(k)=J(k) x(k) J(k) 为nn阶雅可比矩阵,其元素 为函数 fi(x1,x2,.xn) 对自变量 xj 的偏导在点( x(k) )的值 式(4-33b)可简写为： x(k+1)= x(k) x(k) 第k次迭代后用下面的公式检查是否收敛,极座标法矩阵表示,二、极坐标形式的N-R潮流算法,极座标法系数推导,展开式,计及,极座标法系数推导,当ij ，对特定的j，只有特定节点的j，从而ij= i- j 是变量,对特定的j，只有该特定节点的Uj是变量,极座标法系数推导,当i=j ，由于i是变量。

8、，从而所有ij= i- j 都是变量，可得,相似地，由于Ui是变量，可得,极座标法潮流计算的基本步骤：,1. 输入原始数据和信息：y、C、Pis、Qis、Uis、约束条件 2. 形成节点导纳矩阵YB=CTyC 设置各节点电压初值Ui(0), i(0) 将初始值代入(4-48) 求不平衡量Pi(0), Qi(0) 5. 计算雅可比矩阵各元素(Hij、Lij、Nij、Jij) 6. 解修正方程(4-53) ，求 Ui(k), i(k) 7. 求节点电压新值Ui(k+1) = Ui(k) - Ui(k), i(k+1) = i(k) - i(k),极座标法潮流计算的基本步骤：,8. 判断是否收敛：M。

9、ax| Ui(k) |, Max| i(k) | 9. 重复迭代第4、5、6、7步，直到满足第8步的条件 求平衡节点的功率和PV节点的Qi及各支路的功率,三、直角坐标形式的N-R潮流算法,1. 直角座标法：,PQ节点,PU节点,直角坐标的缩写形式：,直角座标法矩阵表示,雅可比矩阵元素值,非对角元素(ij),对角元素(i=j),雅可比矩阵的特点：,各元素是各节点电压的函数 不是对称矩阵 Yij=0， Hij= Nij= Jij= Lij= 0，另Rij= Sij= 0，故稀疏,直角坐标潮流计算的基本步骤：,1. 输入原始数据和信息：y、C、Pis、Qis、Uis、约束条件 2. 形成节点导纳矩阵。

10、YB=CTyC 设置各节点电压初值ei(0), fi(0) 4. 将初始值代入(4-38)求不平衡量Pi(0), Qi(0), Ui2(0),5. 计算雅可比矩阵各元素(Hij、Lij、Nij、Jij、Rij、Sij) 6. 解修正方程(4-37) ，求 ei(k), fi(k) 7. 求节点电压新值ei(k+1) =ei(k) - ei(k), fi(k+1) = fi(k) - fi(k) 8. 判断是否收敛：Max| fi(k) |, Max| ei(k) | 9. 重复迭代第4、5、6、7步，直到满足第8步的条件 求平衡节点的功率和PV节点的Qi及各支路的功率,第四节 N-R潮流计算中。

11、的收敛性和稀疏技术,一、稀疏矩阵的存储,15,10,8,11,5,4,20,7,14,9,12,3,2,22,17,13,16,18,1、按坐标存储的方案,对角元素,非对角元素,特点：按坐标位置存储，简单、直观，便于检索，但不便于运算。,需n+3N个存储单元(n为对角元数，N为非零非对角元数)。,对角元素存储方案同上。,特点：不如上一方案简单、直观，便于检索，但便于运算，普遍采用。,需2n+2N个存储单元，由于N总大于n，故所需存储单元较少。,2、按顺序存储的方案,非对角元素,对角元素存储方案同上。,特点：更便于运算，应用正日益广泛。,需2n+3N个存储单元。,3、按链表存储的方案,非对角元素。

12、,概念：由于J-1、(B)-1 、 (B)-1都是满阵，工程实践中运用的潮流计算程序绝不以求逆、求积运算解修正方程式，而往往代之以因子表法。,二、因子表的形成和应用,因子表的形成,以高斯消元法形成因子表,以三角分解法形成因子表,实质：线性方程组求解过程中的消元与回代。,三、节点编号顺序的优化,节点编号顺序,与矩阵的稀疏度有关,与消元回代的次数有关,第五节 其他潮流计算方法简介,一、P-Q分解法原理,所谓P-Q分解法就是利用牛顿-拉夫逊法修正方程的极标形 式，考虑了电力系统的一些特性(如网络参数XijRij， BijGij，ij0。P ，Q U)，得出的一种简化形式。,图形解释,第五节 P-Q分。

13、解法潮流计算,二、P-Q分解法的修正方程式,重写极座标方程,(4-53),第五节 P-Q分解法潮流计算,简写为,(4-54),进一步,(4-55),计及cosij1, Gij sinij Bij,第五节 P-Q分解法潮流计算,第五节 P-Q分解法潮流计算,(4-57),第五节 P-Q分解法潮流计算,(6-75),(4-58a),(4-58b),P1/U1,P2/U2,Pn/Un,B11,B12,B1n,B21,B22,B2n,Bn1,Bn2,Bnn,U11,U22,Unn,(4-59a),Q1/U1,Q2/U2,Qm/Um,B11,B12,B21,B22,B2m,Bm1,Bm2,Bmm, U1。

14、, U2, Um,(4-59b),B1m,P/U=BU,Q/U=B U,(4-60a),(4-60b),简写为：,P-Q分解法的修正方程式的特点：,以一个(n-1)阶和一个(m-1)阶系数矩阵B、B替代原有的(n+m-2)阶系数矩阵J，提高了计算速度，降低了对存储容量的要求。,以迭代过程中不变的系数矩阵B、B替代变化的系数矩阵J，显著地提高了计算速度。,以对称的系数矩阵B、B替代不对称的系数矩阵J，使求逆等运算量和所需的存储容量大为减少。,牛顿拉夫逊法和PQ分解法的特性：,牛顿拉夫逊法,PQ分解法,三、P-Q分解法的潮流计算的基本步骤,形成系数矩阵B、B ，并求其逆矩阵。,设各节点电压的初值I。

15、(0)(i=1,2,n,is)。UI(0)(i=1,2,m,is),按式(445a)计算有功不平衡量PI(0)(i=1,2,n,is)。,解修正方程式，求各节点电压相位的变量 I(0)(i=1,2,n,is),求各节点电压相位的新值I(1) = I(0) + I(0)(i=1,2,n,is),按式(445a)计算无功不平衡量QI(0)(i=1,2,m,is)。,解修正方程式，求各节点电压幅值的变量 UI(0)(i=1,2,m,is),求各节点电压幅值的新值UI(1) = UI(0) + UI(0)(i=1,2,m,is),不收敛时，运用各节点电压的新值自第三步开始进入下一次迭代。,计算平衡节点功率和线路功率。,见书上P175,P-Q分解的潮流 计算流程图,作业,1、某系统的等值电路如图所示，试求：,写出节点导纳距阵。,如果节点2、4之间阻抗为0，即Z24=0，修改导纳距阵。,2、潮流计算中，节点的分类及各自的已知和未知量是什么?,3、试述牛顿拉夫逊法潮流计算的基本步骤,参考书,电力系统分析与设计 (Power System Analysis and Design) (美)J.Duncan Glover Mulukutla.S.Sarma,机械工业出版社,Thanks！,第四章结束。