随机性

概率分布

均匀分布

设有N个可能的事件，出现的概率分别为p1,p2...pn，则p1+p2+...+pn=1；若p1=p2=...=pn=1/n，即每个可能的事件发生的概率都相等，则称为均匀分布。

非均匀分布

事件的分布概率不全相等，例如正态分布、泊松分布等。

信息熵

熵是衡量一个系统的不确定性或无序程度的度量指标。熵越大，结果的确定性就越小。

若概率分布为p1,p2,....pn，根据信息论，则信息熵（简称熵）为概率乘其对数再求和：

-p1×log(p1)-p2×log(p2)-p3×log(p3)...-pn×log(pn) = -∑pi×log(pi)

log是以2为底的自然对数，以2为底是为了代表比特信息。

因为log(1/2^n) = -n，为了使得熵为正数，公式中采用了负号。

例如，均匀分布下随机产生32位的比特，共有2^32种可能，每一个的概率为2^-32，熵为：

-∑(2^-32)×log(2^-32) = -2^32×(2^-32×log(2^-32)=32

利用数学归纳法可以得到，n比特的字符串熵为n比特。

均匀分布的熵是最大的，这点可从数学上证明，这就说明n比特的熵<=n。

分布越不均匀，熵越低。

随机数发生器与伪随机数发生器

密码系统需要随机性来保证安全，因此需要一个组件以便从中获取密码的随机性。该组件的任务是在请求时返回随机比特。

生成随机比特需要两个条件：

1.不确定性，或者熵源。它由随机数发生器（RNG）提供。

2.一种从熵源产生高质量随机比特的密码算法。这存在于伪随机数发生器（PRNG）中。

随机性应该是不可预测的。仅基于计算机的算法是不能产生随机性的。随机性通常来自随机数发生器（RNG），它是一个软件或硬件组件，利用模拟世界中的熵在数字系统中产生不可预测的比特。例如，RNG可以直接从温度、噪声、空气湍流或静电测量中采样出比特信息。

还可以通过从附加的传感器、I/O设备、网络或磁盘活动、系统日志、运行进程以及用户活动（如按键和鼠标移动）中提取正在运行的操作系统中的熵。这种系统和人类的活动可以是熵的非常好的来源。但它们可能是脆弱的，容易被攻击者操纵，而且产生随机比特的速度很慢。

由于熵源通常难以估计，一般不直接使用RNG。

量子随机数发生器（QRNG）是一种依赖于量子力学现象（如放射性衰变、真空涨落和观测光子偏振）所产生的随机性的随机数发生器。它们可以提供的是真正的随机性，而不仅仅看起来是随机的。然而，在实践中，QRNG可能有偏差而且不能快速产生比特；所以与先前的熵源一样，它们需要一个额外的组件以高速且可靠地产生比特。

伪随机数发生器（PRNG）的功能是从一些真正随机的比特可靠地生成许多人为的随机比特。例如，如果一个RNG实现的是将鼠标移动转换为随机比特，这时如果停止移动鼠标，RNG将停止工作，而PRNG在被请求时总是返回伪随机比特。

PRNG依赖于RNG，两者区别是：

RNG以非确定的方式从模拟源相对缓慢地产生真随机比特，并且不保证高熵。

PRNG以确定的方式从数字源快速生成看起来随机的比特，并具有最大熵。

PRNG的原理

PRNG以规则的间隔从RNG接收随机比特，并使用它们来更新大内存缓冲区中的内容，这个大内存缓冲区的内容称为熵池。熵池是PRNG的熵源。当PRNG更新熵池时，它将熵池的比特混合在一起以便消除任何统计偏差。

为了生成伪随机比特，PRNG运行确定性随机比特生成（DRBG）算法。该算法实现的功能是将来自熵池的一些比特扩展为更长的序列。DRBG是确定性的，即对于一个固定的输入，输出始终是相同的。因此，PRNG必须确保它的DRBG不接收两次相同的输入，这样才能生成唯一的伪随机序列。

RNG需要执行三个操作：

init()：初始化操作，即初始化PRNG的熵池和内部状态。

refresh(R)：更新操作，即使用数据R更新熵池，其中R通常来自RNG。

next(N)：下一次操作，即返回N个伪随机比特并更新熵池。

init操作将PRNG重置为一个新的状态，同时将熵池重新初始化为某个默认值，并初始化RNG用于执行refresh和next操作的任何变量或内存缓冲区。

refresh操作通常称为重新播种，而R的值就是种子。当没有可用的RNG时，种子可能是系统中硬编码的唯一值。refresh操作通常由操作系统调用，而next操作通常由应用程序来调用或发出请求。next操作运行DRBG并修改熵池以确保下一个调用将产生不同的伪随机比特。

 安全问题

PRNG应该实现抗回溯和抗预测。

抗回溯（也称为前向保密）意味着之前生成的比特不可能恢复。

抗预测（也称为后向保密）意味着未来比特不可能预测。

为了实现抗回溯，PRNG应确保通过refresh操作和next操作更新状态时所执行的变换是不可逆的。这样的话，假如攻击者攻击了系统并获得熵池的值，也无法确定先前熵池的值或先前生成的比特。

为了实现抗预测，PRNG应该定期使用攻击者不知道且难以猜测的R值来调用refresh操作，从而保证即使攻击者攻击了整个熵池，也不能确定熵池的未来值。（即使能够获得所有使用过的R值，也还必须知道这些R值是第几次refresh操作和next操作得到的，才能重建熵池。）

PRNG Fortuna原理

Fortuna是windows使用的PRNG。

Fortuna包括以下内容：

32个熵池，p1，p2，…，p32，其中每个 pi 被使用 2^i 次。

密钥K和计数器C（均为16字节）。这些构成了Fortuna的DRBG的内部状态。

工作原理：

init()将K和C分别置零并清空32个熵池 。

refresh(R)将数据R置于其中一个熵池。系统选择用于产生R值的RNG，并定期调用refresh操作。

next(N)使用来自一个或多个熵池的数据更新密钥K，其中熵池的选择主要取决于已经完成了多少次K的更新。然后，把K作为密钥来加密C以产生所请求的N个比特。如果加密C的长度不够，Fortuna会加密C+1，然后是C+2，依此类推，直到获得足够长度的比特。

如果两个Fortuna实例由于共享一个种子文件（用于初始化的一些值）而处于相同的状态（这意味着它们在熵池中共享相同的数据，包括相同的C和K），那么next操作将在两个实例中返回相同的比特值。

为了防止PRNG生成同样的伪随机比特，种子文件在用于确保它们不被重复使用后应该被删除。

 加密与非加密PRNG

非加密PRNG旨在为诸如科学模拟、视频游戏等应用程序生成良好、均匀的分布。

不能在密码应用程序中使用非加密PRNG，因为它们是不安全的。

加密PRNG用于密码应用程序，加密PRNG一定要是不可预测的，同时必须能生成具有良好分布的比特序列。

 非加密PRNG--——Mersenne Twister（MT）算法分析

内部是624个32bit组成的数组，初始值为S1，S2，...，S624；

运行一次变成S2，S3，...，S625，下一次变成S3，S4，...，S626，方程为

S（n+624）=S（n+397）⊕ A(（S（n） ∧ 0x80000000）∨ （S（n+1）& 0xfffffff）)

A是输入为32bit的函数，当输入的32比特字x的最高比特位为0时，A输出x>>1；当输入x的最高比特位为1时，A输出（x>>1）⊕0x9908b0df。

现在有S（924）=S（697）^ A(（S（300） & 0x80000000）| （S（301）& 0xfffffff）)

而S（697）=S（470）^ A(（S（73） & 0x80000000）| （S（74）& 0xfffffff）)，

以此类推，则可以看出S（n，n>624）的值都可以被S（k，1<=k<=624）所表示，也就是可以预测的。

线性与非线性

我们将异或组合称为线性组合。

例如，如果X、Y和Z都是基于比特的，则表达式X⊕Y⊕Z就是线性组合，而表达式(X∧Y)⊕Z因为里面有与运算，所以不是线性的。如果在表达式X⊕Y⊕Z中改变X的其中1比特值，那么无论Y和Z取值如何，结果都会发生改变。相对应地，如果在表达式(X∧Y)⊕Z中改变X的其中1比特值，那么只有当同一位置的Y的比特值为1时，结果才会改变。这说明，线性组合的结果是可预测的。

如果一个算法在密码学上强度很高，那么其方程一定是非线性的。

线性变换会产生很容易求解的短方程（该方程的长短与变量数量的多少相当），而非线性变换则会产生指数规模的方程，这几乎是不可解的。

已实现的PRNG

Unix系统中的PRNG

设备文件/dev/urandom是通用Unix系统中的加密PRNG的用户接口，通常用于生成可靠的随机比特。

因为它是一个设备文件，所以从/dev/urandom中请求随机比特是将随机比特作为文件通过读取来完成的。

Linux系统中的PRNG 

在Linux内核的drivers/char/random.c中定义的Linux PRNG主要使用的是哈希函数SHA-1，其将原始熵比特转换为可靠的伪随机比特。

PRNG获取熵源的途径很多，包括键盘、鼠标、磁盘和中断时序等，并具有512字节的主熵池，以及用于/dev/urandom的非阻塞熵池和用于/dev/random的阻塞熵池。

 /dev/random和/dev/urandom的区别

/dev/random试图估计熵的量级，如果熵太低，则拒绝返回比特。

这可能听起来不错，但事实并非如此。首先，熵估计是出了名的不可靠，并且可能被攻击者作假。此外，/dev/random很快就会耗尽估计的熵，这会导致拒绝服务的情况发生，从而降低了被迫等待更多熵的应用程序的速度。

在实践中，/dev/random并不比/dev/urandom好，并且产生的问题比它解决的问题还要多。

估计/dev/random的熵 

可以通过在Linux上读取/proc/sys/kernel/random/entropy/availy中的当前值来观察/dev/random的熵估计是如何演变的。

下面的shell脚本首先通过从/dev/random中读取4KB来最小化熵估计，等待达到4096比特的估计值后，就从/dev/random中读取64比特，然后显示新的估计值（读取的字节将打印到以base64编码的stdout）。

运行时，可以点击鼠标、键盘查看熵是如何变化的。

#!/bin/bash
ESTIMATE=/proc/sys/kernel/random/entropy_avail
timeout 3s dd if=/dev/random bs=4k count=1 2> /dev/null | base64
ent=`cat $ESTIMATE`

while [ $ent -lt 4096 ]
do
    sleep 3
    ent=`cat $ESTIMATE`
    echo $ent
done

dd if=/dev/random bs=8 count=1 2> /dev/null | base64
cat $ESTIMATE   

windows系统中的PRNG

CryptGenRandom()函数

在Windows中，系统PRNG的旧用户界面是Cryptography应用程序编程接口（API）中的CryptGenRandom()函数。

CryptGenRandom()函数已在最近的Windows版本中被替换为Cryptography API：

Next Generation（CNG）API中的BCryptGenRandom()函数。

Windows中的PRNG从内核模式驱动程序cng.sys（以前名为ksecdd.sys）中获取熵，其熵收集器基于Fortuna。

基于硬件的PRNG——英特尔微处理器中的RDRAND

英特尔数字随机数发生器是2012年在英特尔的Ivy Bridge微体系结构中引入的硬件PRNG，它基于NIST的SP 800-90指南，在CTR_DRBG模式下使用AES。

英特尔的PRNG可通过RDRAND汇编指令访问，该指令提供独立于操作系统的接口，原则上比软件PRNG更快。

软件PRNG试图从不可预测的来源收集熵，而RDRAND有单一的熵源，这个熵源可以提供0、1比特的熵数据序列。在硬件工程术语中，这个熵源是一个带反馈的对偶差分锁存器；本质上，这是一种小型硬件电路，它在800MHz的频率下，根据热噪声波动在两种状态（0或1）之间跳跃。这往往是相当可靠的。

RDRAND汇编指令对16位、32位或64位的寄存器写入随机值。调用时，如果目标寄存器中的数据集是有效的随机值，则RDRAND将进位（CF）标志设置为1，否则设置为0。这意味着如果直接编写汇编代码，应确保检查CF标志。请注意，常见编译器中可用的C内部函数不会检查CF标志，但会返回其值。

英特尔的PRNG框架还提供了除RDRAND之外的汇编指令：RDSEED汇编指令在经过一些调整或加密处理后直接从熵源返回随机比特，它旨在能够为其他PRNG提供种子。

最后

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