Matlab学习第二部分：矩阵

一、矩阵运算

1、矩阵的算数运算

加、减、乘、除（左除、右除）、乘方

1.1 矩阵的加减

运算符：A±B

注意：加减要求矩阵的阶数相同

检查矩阵阶数的语句：

• [i,j]=size(A)

• I=length(A)

1.2 矩阵的乘法运算

运算符：A*B

注意：要求A的列数和B的行数（内阶数）相同。

1.3 矩阵的出发运算

左除：AB

右除：B/A

注意：左除时要求两个矩阵的行数要相等；右除时要求两个矩阵的列数必须相等

1.4 矩阵的乘方运算

运算符：矩阵^幂次

1.5 示例

 >> A=[1 2; 3 4];
 >> B=[1 1; 2 2];
 >> y1=A+B
 ​
 y1 =
 ​
      2     3
      5     6
 ​
 >> y2=A-B
 ​
 y2 =
 ​
      0     1
      1     2
 ​
 >> y3=A*B
 ​
 y3 =
 ​
      5     5
     11    11
 ​
 >> y4=AB
 ​
 y4 =
 ​
          0         0
     0.5000    0.5000
 ​
 >> y5=B/A
 ​
 y5 =
 ​
    -0.5000    0.5000
    -1.0000    1.0000
 ​
 >> y6=A^2
 ​
 y6 =
 ​
      7    10
     15    22

2、矩阵的点（元素群）运算

矩阵中对应位置元素进行相关运算。要求参加运算的矩阵必须是同阶的。即行、列数必须相等

运算符：在矩阵运算的基本运算符前加上“.”即可

点乘：.*

点左除：. ./

点乘方：.^

 >> A=[1 2; 3 4];
 >> B=[1 1; 2 2];
 >> y7=A.*B
 ​
 y7 =
 ​
      1     2
      6     8
 ​
 >> y8=A.B
 ​
 y8 =
 ​
     1.0000    0.5000
     0.6667    0.5000
 ​
 >> y9=B./A
 ​
 y9 =
 ​
     1.0000    0.5000
     0.6667    0.5000
 ​
 >> y10=A.*B
 ​
 y10 =
 ​
      1     2
      6     8

3、矩阵的关系运算

关系运算符：<，<=，>，>=，=，~=

运算结果：真（1），假（0）

运算法则：

1. 标量比较：直接比较数的大小

2. 矩阵比较：矩阵对应位置的元素进行标量比较，最终结果为一个由0和1组成的、与原矩阵同阶数的矩阵，

 >> A=magic(3)
 ​
 A =
 ​
      8     1     6
      3     5     7
      4     9     2
 ​
 >> P=rem(A,3)==0
 ​
 P =
 ​
   3×3 logical 数组
 ​
    0   0   1
    1   0   0
    0   1   0

4、矩阵的逻辑运算

逻辑运算符：非（~）>与（&）>或（|）

针对二进制数的逻辑运算

 >> A=magic(3)
 ​
 A =
 ​
      8     1     6
      3     5     7
      4     9     2
 ​
 >> P=rem(A,3)==0
 ​
 P =
 ​
   3×3 logical 数组
 ​
    0   0   1
    1   0   0
    0   1   0
 ​
 >> U=P|~P
 ​
 U =
 ​
   3×3 logical 数组
 ​
    1   1   1
    1   1   1
    1   1   1
 ​
 >> all(P)       #全为真，按列运算
 ​
 ans =
 ​
   1×3 logical 数组
 ​
    0   0   0
 ​
 >> all(U)
 ​
 ans =
 ​
   1×3 logical 数组
 ​
    1   1   1
 ​
 >> any(P)       #不全为假，按列运算
 ​
 ans =
 ​
   1×3 logical 数组
 ​
    1   1   1

all()：矩阵的一列全为真时，输出1

any()：矩阵的一列不全为假（只要有一个1），输出1

二、矩阵的元素处理

1、矩阵元素的取整

• 按正无穷+∞方向取整：ceil()

• 按负无穷-∞方向取整：floor()

• 四舍五入取整：round()

• 截尾取整：fix() 直接略去小数部分

>> A=[-1.2 -3.4 -5.4;3 6 9;5.2 4.5 4.8]

A =

   -1.2000   -3.4000   -5.4000
    3.0000    6.0000    9.0000
    5.2000    4.5000    4.8000

>> A_f=floor(A)

A_f =

    -2    -4    -6
     3     6     9
     5     4     4

>> A_c=ceil(A)

A_c =

    -1    -3    -5
     3     6     9
     6     5     5

>> A_r=round(A)

A_r =

    -1    -3    -5
     3     6     9
     5     5     5

>> A_fix=fix(A)

A_fix =

    -1    -3    -5
     3     6     9
     5     4     4

2、矩阵元素的取模和取余

• mod(x,y) 取模

• rem(x,y) 取余

这两者均为取余函数，区别在于：当x和y的正负号相同的时候，两个函数的结果相同，均为x除以y的余数，当x和y的正负号不同时，rem函数结果的符号与x相同，而mod函数结果的符号与y相同。

>> a1=mod(-8,3)

a1 =

     1

>> a1=mod(8,-3)

a1 =

    -1

>> a1=mod(8,3)

a1 =

     2

>> a1=mod(-8,-3)

a1 =

    -2

>> rem(-8,3)

ans =

    -2

>> rem(8,-3)

ans =

     2

>> rem(8,3)

ans =

     2

>> rem(-8,-3)

ans =

    -2

三、矩阵的行列式、秩与迹、特征值分析

1、矩阵的行列式

运算符：det()

用于求方阵行列式的值

2、矩阵的秩与迹

• 矩阵的秩：矩阵的列向量组（或者行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数

  运算符：rank()

• 矩阵的迹：矩阵的迹等于矩阵主对角线元素的总和，也等于矩阵特征值的总和

  运算符：trace()

  要求矩阵是方阵

3、矩阵的特征值分析

• E=eig(A)：求矩阵的全部特征值，并构成向量E

• [V,D]=eig(A)：求矩阵的全部特征值，构成对角矩阵D；求A的特征向量，构成列向量V。

>> A=[-2,1,4;4,5,6;-4,-7,-8]

A =

    -2     1     4
     4     5     6
    -4    -7    -8

>> a1=det(A)

a1 =

   -28

>> a2=rank(A)

a2 =

     3

>> a3=trace(A)

a3 =

    -5

>> a4=eig(A)

a4 =

  -1.5000 + 3.4278i
  -1.5000 - 3.4278i
  -2.0000 + 0.0000i

>> [V,D]=eig(A)

V =

   0.0754 - 0.5168i   0.0754 + 0.5168i  -0.8001 + 0.0000i
  -0.6030 + 0.0000i  -0.6030 + 0.0000i   0.5819 + 0.0000i
   0.6030 + 0.0000i   0.6030 + 0.0000i  -0.1455 + 0.0000i


D =

  -1.5000 + 3.4278i      
                     -1.5000 - 3.4278i   
                                        -2.0000 + 0.0000i

四、矩阵的逆与线性方程组的求解

1、矩阵的逆

inv()：用于求满秩方程的逆

pinv()：用于求不是方阵或者非满秩方阵的逆——伪逆

如果ABA=A，BAB=B，则称B为A的伪逆，或者广义逆矩阵

2、线性方程组的解

五、矩阵的分解与变换

1、矩阵的分解

• 三角分解：[l,u]=lu(a)

  l表示下三角矩阵

  u表示上三角矩阵

• 正交分解：[q,r]=qr(a)

  假设a(n,m)

  q：n阶正交方阵

  r：与a同阶的上三角矩阵

• 奇异值分解：[u,s,v]=svd(a)

  u：n阶正交方阵

  s：n×m阶的对角阵，对角线元素为a的奇异值，长度为n、m的较小者

  v：m阶正交方阵。

2、矩阵的变换

• 矩阵的共轭转置：’

• 矩阵的共轭：conj

• 矩阵的转置：conj’

• 复数矩阵的赋值

  对元素逐个赋值：z=[1+2i,3+4i;5+6i,3+2i]

  对实部和虚部矩阵分别赋值：z=[1,2;5,7]+[2,4;8,9]*i

>> z=[1+2i,3+4i;5+6i,3+2i]

z =

   1.0000 + 2.0000i   3.0000 + 4.0000i
   5.0000 + 6.0000i   3.0000 + 2.0000i

>> z1=z'	#共轭转置

z1 =

   1.0000 - 2.0000i   5.0000 - 6.0000i
   3.0000 - 4.0000i   3.0000 - 2.0000i

>> z2=conj(z)	#共轭

z2 =

   1.0000 - 2.0000i   3.0000 - 4.0000i
   5.0000 - 6.0000i   3.0000 - 2.0000i

>> z3=conj(z)'	#转置

z3 =

   1.0000 + 2.0000i   5.0000 + 6.0000i
   3.0000 + 4.0000i   3.0000 + 2.0000i

只有数字和i之间的乘号可以省略

• 矩阵的行列扩展

  a=[-2,1,4;4,5,6;-4,-7,-8]

  行扩展：a(4,3)=6.5 a=(5,:)=[5,4,3]

  列扩展：a(:,4)=[5;4;3;2;1]

>> a=[-2,1,4;4,5,6;-4,-7,-8]

a =

    -2     1     4
     4     5     6
    -4    -7    -8

>> a(4,3)=9.8

a =

   -2.0000    1.0000    4.0000
    4.0000    5.0000    6.0000
   -4.0000   -7.0000   -8.0000
         0         0    9.8000

>> a(5,:)=[5,4,3]

a =

   -2.0000    1.0000    4.0000
    4.0000    5.0000    6.0000
   -4.0000   -7.0000   -8.0000
         0         0    9.8000
    5.0000    4.0000    3.0000

>> a(:,4)=[5;4;3;2;1]

a =

   -2.0000    1.0000    4.0000    5.0000
    4.0000    5.0000    6.0000    4.0000
   -4.0000   -7.0000   -8.0000    3.0000
         0         0    9.8000    2.0000
    5.0000    4.0000    3.0000    1.0000

最后

以上就是彪壮板凳为你收集整理的Matlab学习第二部分：矩阵的全部内容，希望文章能够帮你解决Matlab学习第二部分：矩阵所遇到的程序开发问题。

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