数据结构和算法：二叉树路径总和

内卷之源：

https://leetcode.cn/problems/path-sum-iii/

题目描述：

 * 给定一个二叉树的根节点 root ，和一个整数 targetSum ，求该二叉树里节点值之和等于 targetSum 的 路径 的数目。
 * 路径 不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但是路径方向必须是向下的（只能从父节点到子节点）。

 * 说明：
      二叉树的节点个数的范围是 [0,1000]
      -10^9 <= Node.val <= 10^9 
      -1000 <= targetSum <= 1000

测试用例：

本题三个输入示例对应的二叉树如下：

思路分析：

法一：穷举所有的可能。
    使用 深度优先搜索 + 前序遍历方法 以任意节点node为起始节点，检测向下延深满足要求的路径有多少种。实际是一个递归做加法的过程，由于节点的元素可以为负数，所以当前面节点之和满足要求时，仍可以继续累加后面节点，直到叶子节点。
    逐节点递归遍历，将加入当前节点后是否满足要求的判断结果作为递归函数的返回值，然后将这些返回值求和即可得到总的路径数。
    该方法有两层递归：一是刚提到的递归做加法过程，二是选取路径起始节点。

法二：前缀和——根节点到当前节点的路径上所有节点的和。
    使用 深度优先搜索 + 前序遍历方法 保存各节点的前缀和。若当前节点P_curr的前缀和 减去 targetSum 的差值，等于当前节点所在路径前面某一节点P_i的前缀和，则从P_(i+1)到P_curr的节点值之和必然等于 targetSum。

本地自测Demo根据输入序列构造二叉树：
    由于输入序列不是前中后序任意一种，而是按从上往下、同层从左至右的顺序（即Z字形），且空节点用null表示。该格式序列很容易手画二叉树，但如何用程序实现却不容易。回想 从前序与中序遍历序列构造二叉树 按从上往下、同层从左至右逐层打印二叉树（空节点用null表示）的思路，其输出序列格式与本例的输入序列格式一致，似乎可以借鉴其处理逻辑。实际确实可行，只是还需考虑各节点在输入序列中的索引位置，因为各节点对应的左右子树在序列中的位置是可以计算得到的（类似堆排序算法堆积树左子节点及其父节点的处理），如下图所示

编程实现(C++)：

/*
 ************************************************************
 * @author    SLF
 * @version	  V1.0.0
 * @date      7-July-2021
 ************************************************************
 */

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <utility> //pair
#include <unordered_map>
#include <memory>
// #include <cmath> //pow()

#define METHOD_PREFIX           (0)
#define METHOD_EXHAUSTIVITY     (1)

#define DUMMY_NULL 0x7FFFFFFF

using namespace::std;

typedef struct TreeNode {
    TreeNode():val(0),left(nullptr),right(nullptr) {}
    TreeNode(const int v):val(v),left(nullptr),right(nullptr) {}
    TreeNode(const int v, shared_ptr<TreeNode> l, shared_ptr<TreeNode> r):val(v),left(l),right(r) {}

    int val;
    shared_ptr<TreeNode> left;
    shared_ptr<TreeNode> right;
}TreeNode;

class Solution {
private:
    /**
     * 前缀和方法
     * 时间复杂度：O(N)，只需按节点数量递归遍历一次即可
     * 空间复杂度：O(N)，容器 preSum 只存储了最多节点数量个不同累加和值
     **/
    int prefixSumMethod(const shared_ptr<TreeNode> root, long long recursiveSum, const int targetSum)
    {//深度优先搜索dfs
        if(!root)
        {//空节点
            return 0;
        }

        int path = 0;
        //逐节点累加
        recursiveSum += root->val;
        //在存入unordered_map容器前判断 当前累加和 减去 targetSum 的 差 是否存在unordered_map中
        if(preSum.count(recursiveSum - targetSum))
        {//存在unordered_map中（unordered_map的key是按递归深度递增的节点累加和值），即去掉 该条路径上根节点到前面某节点的累加和恰为该差值的那些节点，剩余的节点即可组成符合要求的路径（要注意以二叉树根节点为起始且符合要求的路径，不需要去掉节点，且该路径此处差值恰为0，所以pathSum()函数中才会单独赋值处理）
            path = preSum[recursiveSum - targetSum]; //1(当前路径中) 或 0(先前其它路径加入unordered_map)
        }

        //继续累加子树中的节点（不是基于节点值可为负数的考虑，而是上面的判断是可将该路径前端节点去掉）
        preSum[recursiveSum]++;
        //前序遍历
        path += prefixSumMethod(root->left, recursiveSum, targetSum);
        path += prefixSumMethod(root->right, recursiveSum, targetSum);
        //每条路径的累加和已使用，故减掉一次（减的过程肯定是从最长路径逐渐到最短路径），否则会影响其它路径
        preSum[recursiveSum]--;

        return path;
    }

    /**
     * 穷举法
     * 时间复杂度：O(N^2)，选取路径起始节点遍历一次，检索路径遍历一次
     * 空间复杂度：O(N)，虽然不像前缀和那样使用容器，但递归需要栈空间
     **/
    int exhaustiveMethod(const shared_ptr<TreeNode> &root, const int targetSum)
    {//深度优先搜索dfs
        if(!root)
        {//空节点
            return 0;
        }

        int path = 0;

        //使用当前节点作为路径起始节点
        path = exhaustivePath(root, 0, targetSum);

        //前序遍历，选取路径起始节点
        path += exhaustiveMethod(root->left, targetSum);
        path += exhaustiveMethod(root->right, targetSum);

        return path;
    }
    int exhaustivePath(const shared_ptr<TreeNode> &root, long long recursiveSum, const int targetSum)
    {//深度优先搜索dfs
        if(!root)
        {//空节点
            return 0;
        }

        int path = 0;
        recursiveSum += root->val;
        if(targetSum == recursiveSum)
        {//节点值可为负数，因此可以继续递归
            path++;
        }
        //前序遍历
        path += exhaustivePath(root->left, recursiveSum, targetSum);
        path += exhaustivePath(root->right, recursiveSum, targetSum);

        return path;
    }

public:
    /**
     * 计算路径和外部调用接口
     **/
    int pathSum(shared_ptr<TreeNode> &root, const int targetSum, const int method)
    {
        if(METHOD_EXHAUSTIVITY == method)
        {
            return exhaustiveMethod(root, targetSum);
        }
        else if(METHOD_PREFIX == method)
        {
            preSum[0] = 1; //符合要求的以二叉树根节点为起始的路径
            return prefixSumMethod(root, 0, targetSum);
        }

        return 0;
    }

    /**
     * 根据输入序列构造二叉树
     **/
    void buildTree(shared_ptr<TreeNode> &root, const vector<int> &input)
    {//使用BFS宽度/广度优先搜索算法，从上到下、同层从左至右构造每个节点
        const unsigned short n = input.size();
        if((!n) 
            || (DUMMY_NULL == input[0])) //注意顺序
        {
            return;
        }

        queue<pair<unsigned short, shared_ptr<TreeNode>>> q; //key存放节点在原始输入序列中的索引位置
        pair<unsigned short, shared_ptr<TreeNode>> tmp;

        root = make_shared<TreeNode>(input[0]);
        q.push(make_pair(0,root));

        for(unsigned short i = 0; n > i; ++i) //每个节点均是根节点
        {
            const unsigned short size = q.size();
            for(unsigned short j = 0; size > j; ++j)
            {
                tmp = q.front();

                unsigned short pos = tmp.first + (tmp.first + 1); //left child node
                if(n <= pos)
                {//该父节点的左孩子节点超出输入序列范围，该父节点是叶子节点
                    i = n;
                    break;
                }
                if(DUMMY_NULL != input[pos])
                {
                    tmp.second->left = make_shared<TreeNode>(input[pos]);
                    q.push(make_pair(pos, tmp.second->left));
                }

                pos = tmp.first + (tmp.first + 1) + 1; //right child node
                if(n <= pos)
                {//该父节点的右孩子节点超出输入序列范围（由于左孩子节点存在，所以该父节点不是叶子节点）
                    i = n;
                    break;
                }
                if(DUMMY_NULL != input[pos])
                {
                    tmp.second->right = make_shared<TreeNode>(input[pos]);
                    q.push(make_pair(pos, tmp.second->right));
                }

                q.pop(); //这里虽弹出，但指针并不会释放，充分理解智能指针引用计数原理：每次 make_shared 和 push 计数器均加1，pop一次仅减1，所以最终各非空节点计数器数值均为1
            }
        }

        return;
    }

    /**
     * 从上到下打印二叉树的每个节点，同一层按从左至右的顺序，同一层不存在的节点输出null
     * 设计思路是将二叉树同一层最多数量pow(2, level-1)的节点都插入到队列中，包括不存在的节点位置。
     * 如果仅插入已存在的节点，下一次遍历时很难确定节点在二叉树同层的哪个位置，尤其是多层结构，需要向前追溯。
     **/
    void levelOrderPrint_Comm(shared_ptr<TreeNode> const &root)
    {
        unordered_map<short, short> unmap; //按先后顺序缓存各节点元素
        queue<shared_ptr<TreeNode>> q; //缓存同一层节点指针（包括空节点）
        shared_ptr<TreeNode> tmp;
        short n = 0;
        short lev = 0, inx = 0;
        bool flag = false; //判断队列中缓存的同一层节点指针是否全是无效的空节点
 
        if(nullptr == root)
        {
            cout << "null" << endl;
            return;
        }
        
        q.push(root);
        while(!flag)
        {
            flag = true;
            ++lev;
            n = q.size();
            for(short i = 0; n > i; ++i)
            {
                tmp = q.front();
                if(nullptr == tmp)
                {
                    // flag = true; //不能放此处，同层左边有，右边无
                    unmap[inx++] = __SHRT_MAX__;
                    q.pop();
                    // 下一层
                    q.push(nullptr);
                    q.push(nullptr);
                    continue;
                }
                else
                {
                    flag = false;
                    unmap[inx++] = tmp->val;
                }
                q.pop(); //push 和 pop 各一次，作用于同一节点上的引用计数相互抵消
 
                if(nullptr != tmp->left)
                {
                    q.push(tmp->left);
                }
                else
                {
                    q.push(nullptr);
                }
 
                if(nullptr != tmp->right)
                {
                    q.push(tmp->right);
                }
                else
                {
                    q.push(nullptr);
                }
            }
        }
 
        // 上面while循环多计一层，最后queue中存放的全是nullptr
        --lev;
        n = 0;
        for(short exp = 0; lev > exp; ++exp)
        {// 计算二叉树节点总数（可以由外部输入）
         // 第一层（根节点），元素个数最多 pow(2,0) 个
         // 第二层，元素个数最多 pow(2,1) 个
         // 第三层，元素个数最多 pow(2,2) 个
         // ……
         // 第N层，元素个数最多 pow(2,(N-1)) 个
            // n += pow(2,exp); //转 移位运算 或 等比数列求和公式 可提升效率
            n += 1<<exp;
        }
 
        cout << unmap[0];
        for(short i = 1; n > i; ++i)
        {
            if(__SHRT_MAX__ == unmap[i])
            {
                cout << ",null";
            }
            else
            {
                cout << ',' << unmap[i];
            }
        }
        cout << endl;
 
        return;
    }

private:
    unordered_map<long long, int> preSum; //将各递归和作为key，该和值出现的次数作为value
};

int main(void)
{
    const unordered_multimap<int,vector<int>> input = { {8,{10,5,-3,3,2,DUMMY_NULL,11,3,-2,DUMMY_NULL,1}}, 
                                                        {22,{5,4,8,11,DUMMY_NULL,13,4,7,2,DUMMY_NULL,DUMMY_NULL,5,1}}, 
                                                        {8,{6,3,4,7,-1,3,7,8,1,DUMMY_NULL,2,DUMMY_NULL,DUMMY_NULL,2,-3,DUMMY_NULL,DUMMY_NULL,DUMMY_NULL,DUMMY_NULL,DUMMY_NULL,DUMMY_NULL,DUMMY_NULL,4}}, 
                                                        {8,{8}}, 
                                                        {8,{12}}, 
                                                        {8,{}} };
    Solution sl;
    shared_ptr<TreeNode> root = nullptr;

    for(const auto i : input)
    {
        cout << i.first << ", num=" << i.second.size() << endl;
        sl.buildTree(root, i.second);
        sl.levelOrderPrint_Comm(root);
        cout << "prePathSum=" << sl.pathSum(root, i.first, METHOD_PREFIX) << ", exhaustPathSum=" << sl.pathSum(root, i.first, METHOD_EXHAUSTIVITY) << endl;
        cout << endl;

        root = nullptr;
    }

    return 0;
}

郑重提示：①解题思路非最优，覆盖条件可能不全，仅供练习参考。

                  ②若有更佳思路或疑问，可在评论区留言相互讨论，不亦乐乎。

                  ③本文不允许转载，若认可本文，可点赞收藏关注。

最后

以上就是爱听歌大船为你收集整理的数据结构和算法：二叉树路径总和的全部内容，希望文章能够帮你解决数据结构和算法：二叉树路径总和所遇到的程序开发问题。

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