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傅里叶级数和傅里叶变换都是十分重要的数学工具.但是学习起来也有一定的难度.写本文的目的是想以一种更为直观的角度来理解这种变换.我们采用的观点是来自于线性代数的.所以我们有必要从线性代数开始.

基本定义

在线性代数中,有一个非常重要的概念叫做正交.比如$(1,0,0)$与$(0,1,0)$就是互相正交的向量.而正交向量的点积为0.也就是说$(1,0,0)\cdot (0,1,0)=0$.
我们可以看到正交的概念十分简单明了.但是实际上正交的概念更为普遍,不只是线性代数中才有的概念.更为抽象的定义是如果你定义某种操作函数K,如果$K(a,b)=0$,我们就可以称为a,b正交.所以我们可以在三角函数中定义正交的概念.

三角函数中的正交

这里我们先列出来正交的三角函数有$1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),\cdots ,cos(nx),sin(nx),\cdots$.这些函数在$[-\pi ,\pi ]$上正交.也就是说,

$${\int }_{-\pi }^{\pi }cos(nx)dx=0$$ $${\int }_{-\pi }^{\pi }sin(nx)dx=0$$
$${\int }_{-\pi }^{\pi }sin(kx)cos(nx)dx=0$$
$${\int }_{-\pi }^{\pi }sin(kx)sin(nx)dx=0,(k\ne n)$$
$${\int }_{-\pi }^{\pi }cos(kx)cos(nx)dx=0,(k\ne n)$$

我们来看看类比,对于向量$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right)$我们定义的K操作为$K(a,b)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$.那么对于三角函数而言,K操作定义为
$$K(cos(kx),sin(nx))={\int }_{-\pi }^{\pi }cos(kx)sin(nx)dx$$
所以我们可以对于三角函数建立正交关系.我们来类比一下.

向量空间 vs 三角函数的正交空间

• 基向量

  • 向量空间中(假如这个空间的维度为n),我们把这个空间称为A
    我们可以定义基向量为 $$e_1=(1,0,\cdots ,0)$$
    $$e_2=(0,1,\cdots ,0)$$ $$⋮$$ $$e_n=(0,0,\cdots ,1)$$

  • 对于三角函数的空间里面我们可以定义的一组基为,我们也把这个空间称为B
    $$n_1=1$$ $$n_2=cos(x)$$ $$n_3=cos(2x)$$ $$⋮$$
    $$n_n=cos((n-1)x)$$ 由这些基组成的空间,它是一个n维的三角函数空间

• 空间中任意一个向量

  • n维向量空间A $$v=k_1{e}_1+k_2{e}_2+\cdots +k_n{e}_n$$

  • 刚才提到的三角函数空间B $$f=k_{0}1+k_1{c}_1+\cdots +k_{n-1}{c}_{n-1}$$
    $$f=k_0+k_{1}cos(x)+k_{2}cos(2x)+\cdots +k_{n-1}cos((n-1)x)$$

如何求系数

• 向量空间中如何求坐标.也就是基向量的系数.比如
  $$v=k_1{e}_1+k_2{e}_2+\cdots +k_n{e}_n$$
  这个向量的系数(坐标)是多少呢?通过上式你可以很容易观察得到坐标为$\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)$.但是实际生活中,你并不知道上面的形式,你知道$v$而不知道$v$怎么由$\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right)$构成的.

  我们的问题变成,已知$v$,和$\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right)$,求$v$在$\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right)$这组基下面的坐标.在线性代数中,这个问题其实很简单.我们只需要用$e_i$去点积$v$即可.

  $$k_i=v\cdot e_i$$

  这样就可以求出在$\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right)$下,$v$的坐标.因为$e_i\cdot e_j=0,(i\ne j)$

• 三角函数空间

  类似的我们如果已知函数$f(x)$由如下的三角函数组成
  $$1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),\cdots ,cos(nx),sin(nx)$$

  但是你不知道$f(x)$对应这些三角函数的具体系数.你该如何做?类似于向量空间的方法,使用三角函数中定义的点积来求出对应系数$k_i$

  比如我们要来求出$cos(ix)$的系数,我们可以使用
  $${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(ix)dx=k_i^{(cos)}{\int }_{-\pi }^{\pi }cos(ix)cos(ix)dx$$

  这是应为正交的关系,所以只剩下一项了.又因为我们知道

  $${\int }_{-\pi }^{\pi }co{s}^2(ix)dx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{cos(2ix)+1}{2}dx={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{cos(2ix)}{2}dx+\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }dx=\pi$$
  由此可见 $$k_i^{cos}={\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(ix)dx/\pi$$

傅里叶级数

有了前面的知识,我们自然而然的就可以导出傅里叶级数了.我们先来看看傅里叶级数的定义.

如果$f(x)$是周期$2\pi$的函数.那么以下展开形式被称作傅里叶级数

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx))$$

其中, $$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$
$$b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)sin(kx)dx$$
$$a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)cos(kx)dx$$

有了傅里叶级数的定义,我们来看看收敛定理.

设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数,如果它满足:

• 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点.

• 在一个周期内至多只有有限个极值点

则$f(x)$的傅里叶级数收敛,且

• 当x是$f(x)$的连续点时,级数收敛于$f(x)$.

• 当x是$f(x)$的间断点时,级数收敛于 $$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$$

举例

傅里叶级数使用的互相正交的三角函数个数为无线个.也就是说这个三角函数空间为无线维的.但是我们可以在有限维度来观察福利叶级数的行为.我先来看看一个简单的例子比如函数,一个简单的连续函数.这个函数是周期为$2\pi$的函数,这个函数的在$[-\pi ,\pi ]$上面的定义为

$$\{\begin{array}{r}x+\pi ,(-\pi <x⩽0)\\ -x+\pi ,(0<x⩽\pi )\end{array}$$

整个函数的图像如下图

我们这里不使用无线维的三角函数集合.而是使用有限维度的三角函数集合.会发生什么?比如我们使用

$$1,cos(x),sin(x)$$

按照我们刚开始的方法,也就是正交三角函数的系数求解方法.我们可以展开出这样的的形式

$$\frac{4\cos (x)}{\pi }+\frac{\pi }{2}$$
这个函数在$[-\pi ,\pi ]$的图象为.这个图象看起来和我们原来的函数图象比较起来,一点儿也不像.但是通过我们以前的分析,可以知道我们的原函数实际上,是含有$\frac{4\cos (x)}{\pi }$和$\frac{\pi }{2}$,成分的.但是因为我们并没有把更为高频的成分加入进来.

这个图形只能说大体上和我们原函数相像而已.接下来我们试着加入更高频的成分.

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我们现在加入更高频的成分.

$$1,cos(x),sin(x),cos(2x),sin(2x),cos(3x),sin(3x)$$

我们求得的函数为

$$\frac{4\cos (x)}{\pi }+\frac{4\cos (3x)}{9\pi }+\frac{\pi }{2}$$

图象为

人眼可以看出,这个函数与原函数越来越像了.接下来我们加入更为高频的成分.比如
$$1,sin(x),cos(x),\cdots ,sin(9x),cos(9x)$$

我们求得的函数为
$$\frac{4\cos (x)}{\pi }+\frac{4\cos (3x)}{9\pi }+\frac{4\cos (5x)}{25\pi }+\frac{4\cos (7x)}{49\pi }+\frac{4\cos (9x)}{81\pi }+\frac{\pi }{2}$$

图象为

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这个函数又更为接近原函数了.可见当我们添加更为高频的成分之后,函数越来越贴近原函数了.最后我们加入非常高的高平成分进去.

$$1,sin(x),cos(x),\cdots ,sin(99x),cos(99x)$$

求得的函数我就不列出来了,因为很长很复杂了.但是我们可以把它的图像输出出来.

这下你凭借肉眼是看不出来这个函数和原函数的区别的.当我们将频率成分扩展到无限的时候.我们就能够得到一个傅里叶级数展开式组成的函数,它在数学上严格等于原函数.

一般周期傅里叶级数

如果一个函数的周期不是$2\pi$怎么办?假如一个函数的周期为$2l$.那么这下该怎么办呢?其实也很容易的.我们可以将$2l$周期的函数变为$2\pi$周期.如何做?换元法而已.我们来看看.如何使用换元法将一个周期为$2l$的函数换成一个周期为$2\pi$的函数.

$$f(x+2l)=f(x)$$

只需要进行变换一下自变量就行了.$x=\frac{l}{\pi }z$这样就可以了.然后我们可以换回来,就回到了原来的形式.这样我们可以得到如下的傅里叶系数展开式形式
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}(a_{k}cos(\frac{k\pi }{l}x)+b_{k}sin(\frac{k\pi }{l}x))$$

其中, $$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$$
$$a_k=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)cos(\frac{k\pi }{l}x)dx$$
$$b_k=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)sin(\frac{k\pi }{l}x)dx$$

复数形式

傅里叶级数的复数形式和上面写出的三角函数形式没有本质区别.他们只是同样的数学概念的不同形式而已.可以互相转换.值得注意的是,我们讨论的$x$自变量的取值范围属于$\mathbb{C}$不仅限于$\mathbb{R}$

下面我们就根据一般形式进行复数形式的推到,我们要用到的根据是欧拉公式

$$e^{ix}=cos(x)+sin(x)i$$

那么我们可以根据欧拉公式进行转换

$$cos(\frac{k\pi }{l}x)=(e^{\frac{k\pi x}{l}i}+e^{-\frac{k\pi x}{l}i})/2$$
$$sin(\frac{k\pi }{l}x)=-(e^{\frac{k\pi x}{l}i}-e^{-\frac{k\pi x}{l}i})i/2$$
将上面的公式带入原来的级数里面我们整理可得.

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[\frac{a_k-i{b}_k}{2}{e}^{\frac{k\pi x}{l}i}+\frac{a_k+i{b}_k}{2}{e}^{-\frac{k\pi x}{l}i}\right]$$

你可以假设$c_0=\frac{a_0}{2},c_n=\frac{a_k-i{b}_k}{2},c_{-n}=\frac{a_k+i{b}_k}{2}$,并化简可得
$$c_n=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-\frac{k\pi x}{l}}dx$$
$$c_{-n}=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{\frac{k\pi x}{l}}dx$$
由此可见系数的形式可以统一为
$$c_n=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{k\pi x}{l}}dx,(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$$

如此以来,傅里叶级数就可以变为更为简单的形式

$$\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{\frac{k\pi x}{l}i}$$

补充

1. 刚才的例子里面并不含sin函数成分.是因为巧合.如果我们的函数更为一般些.图象更为复杂的话.里面一般都会含有sin函数成分.当然这是和函数$f(x)$的奇偶性有关的.

2. 傅里叶级数的展开式所含有的频率成分是固定的,而且是离散的.他们分别是.

3. 对于有个函数,比如只有一个区域有定义,切满足傅里叶级数的收敛性质的函数.可以做延拓.也就是重复那个区段,就可以把它变成周期函数.然后进行傅里叶级数的变换.

$$\frac{1}{2\pi },\frac{1}{\pi },\frac{3}{2\pi },\frac{2}{\pi },\frac{5}{2\pi },\cdots ,\frac{n}{2\pi },\cdots$$

傅里叶变换

有了傅里叶级数的基础最好趁热打铁,学习傅里叶变换.傅里叶级数有什么缺点呢?还是有的,比如对于定义在全数域上而没有周期的函数怎么办?接下来我们看看如何从傅里叶级数慢慢的导出傅里叶变换.
$$c_n=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}}dx,(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$$
$$\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{\frac{k\pi x}{l}i}$$
对于一般周期的傅里叶级数,变换后的频率成分主要是

$$\frac{\pi }{l},\frac{2\pi }{l},\cdots ,\frac{k\pi }{l},\cdots$$

对于不同的周期$l$,频率成分不一样.那么我们来举例看看.根据不同的$l$来看看不同的傅里叶级数所含有的频率成分.

• $l=1$
  

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• $l=2$

• $l=5$

• $l=20$

  

由此可见,当周期趋近于无穷大的时候.傅里叶级数将会包含所有的频率成分.变成一个连续的频率成分.我们看看如何将傅里叶级数变成连续的.
其实也不难,就是取极限.

$$f(x)=\underset{l\to \infty }{\lim }\sum _{-\infty }^{\infty }\left[c_n{e}^{\frac{k\pi x}{l}i}\right]$$ 把$c_n$也带入进去可得.
$$f(x)=\underset{l=\infty }{\lim }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[(\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(t)e^{-i\frac{k\pi t}{l}}dt)e^{\frac{k\pi x}{l}i}\right]$$ 进行化简

$$f(x)=\underset{l\to \infty }{\lim }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(t)e^{\frac{(x-t)\pi k}{l}}dt\right]$$

我们现在来看看引入一个变量${\lambda }_k=\frac{k\pi }{l}$.这个正是频率成分.$\Delta \lambda ={\lambda }_{n+1}-{\lambda }_n=\frac{\pi }{l}$.我们带入上面的式子.

$$f(x)=\underset{l\to \infty }{\lim }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-l}^{l}f(t)e^{{\lambda }_{k}i(x-t)}dt\right]\Delta \lambda$$

当$l\to \infty$.我们可以得
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{i\lambda (x-t)}dtd\lambda$$
整理一下,我们可以得到下面的式子
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt\right)e^{i\lambda x}d\lambda$$

我们把里面的一个部分
$$\hat{f}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt$$
叫做傅里叶变换

我们来比较一下在傅里叶级数中的$c_n$和傅里叶变换中的$\hat{f}(\lambda )$

• $$c_n=\frac{1}{2l}{\int }_{-l}^{l}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{l}}dx,(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$$

• $$\hat{f}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt$$

可见傅里叶级数中的系数在周期无穷大的情况下就会,变成傅里叶变换的形式.傅里叶变换的这个函数值代表的是什么意思?

$$\hat{f}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt$$

这个函数是一个以$\lambda$为自变量的一个函数.这个自变量就是代表的物理意义是频率.而函数求得值是什么呢?它是一个复数.复数怎么来解释?这个需要将复数形式还原为实数的形式.当我们的原函数$f(x)$是一个定义在实数域上的信号的时候.我们怎么来解释
$$\hat{f}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt$$
我们来看看如何重新根据$\hat{f}(\lambda )$计算振幅和频率成分.

$$\hat{f}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt\mapsto e^{i\lambda x}$$
$$\hat{f}(-\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{i\lambda t}dt\mapsto e^{-i\lambda x}$$
将后面的项展开可得
$$\hat{f}(\lambda )cos(\lambda x)+i\hat{f}(\lambda )sin(\lambda x)$$
$$\hat{f}(-\lambda )cos(\lambda x)-i\hat{f}(-\lambda )sin(\lambda x)$$
合并同类项可得
$$(\hat{f}(\lambda )+\hat{f}(-\lambda ))cos(\lambda x)+i(\hat{f}(\lambda )-\hat{f}(-\lambda ))sin(\lambda x)$$
又因为
$$\hat{f}(\lambda )+\hat{f}(-\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)cos(\lambda t)dt$$
$$\hat{f}(\lambda )-\hat{f}(-\lambda )=-i\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)sin(\lambda t)dt$$
所以,我们可以最终得到一个不含虚数的展开式的两相.
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)cos(\lambda t)dtcos(\lambda x)+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)sin(\lambda t)dtsin(\lambda x)$$
这就可以复原出两个频率相同的正余弦信号.

傅里叶变换举例

• $f(x)=sin(x)$

  1. 傅里叶变换的结果
     $$\hat{f}(\lambda )=-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\delta (\lambda -1)+i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\delta (\lambda +1)$$

  2. 完整的$f(x)$形式为
     $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\left[-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\delta (\lambda -1)+i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\delta (\lambda +1)\right]e^{i\lambda x}d\lambda$$
     我们化一下简得 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left[-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}{e}^{i\cdot 1\cdot x}+i\sqrt{\frac{\pi }{2}}{e}^{i\cdot -1\cdot x}\right]$$ 再次化简可得 $f(x)=sin(x)$

  注意所谓的$\delta (x)$是个什么函数.它的定义其实很简单.他的性质如下$\delta (x)=0,x\ne 0$时$\delta (x)=\infty ,x=0$.另外${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)f(x)dx=f(0)$.

• $f(x)=x$

  • 傅里叶变换得
    $$\hat{f}(\lambda )=i\sqrt{2\pi }{\delta }^{\prime }(\lambda )$$

  • 那么傅里叶逆变换的完整性时为
    $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(x)e^{i\lambda x}d\lambda$$

    积分过程如下

    • $${\int }_{-\infty }^{\infty }i{\delta }^{\prime }(\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda$$

    • $$i\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda -ix{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (\lambda )e^{i\lambda x}d\lambda \right]$$

    • $$i(e^0-ix{e}^0)=x$$

  • 最终结果是 $$f(x)=x$$

最后

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