瞎讲：FFT三次变二次优化

2020年了我怎么还是没有学会任意模数NTT……
发现自己多项式的技能没有点的还有很多。

处理任意模数NTT有一系列的方法，其中有个看起来比较优的算法需要FFT三次变二次优化。
众所周知，普通的FFT长这样：
假设是多项式$A(x)$和$B(x)$求卷积，首先求$DFT(A)$和$DFT(B)$，两者相乘后求$IDFT$
这样算了三次$DFT$。
接下来的算法可以将三次$DFT$优化成两次。

设$P(x)=A(x)+iB(x)$，$Q(x)=A(x)-iB(x)$
推一波式子（设$L$表示长度，$\theta =\frac{2\pi jk}{L}$）
$$\begin{gathered} DFT(P{)}_k=P({\omega }^k) \\ =\sum _{j=0}^{L-1}(A_j+i{B}_j){\omega }^{jk} \\ =\sum _{j=0}^{L-1}(A_j+i{B}_j)(\cos \theta +i\sin \theta ) \\ =\sum _{j=0}^{L-1}(A_j\cos \theta -B_j\sin \theta )+i(A_j\sin \theta +B_j\cos \theta ) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} DFT(Q{)}_k=Q({\omega }^k) \\ =\sum _{j=0}^{L-1}(A_j-i{B}_j){\omega }^{jk} \\ =\sum _{j=0}^{L-1}(A_j-i{B}_j)(\cos \theta +i\sin \theta ) \\ =\sum _{j=0}^{L-1}(A_j\cos \theta +B_j\sin \theta )+i(A_j\sin \theta -B_j\cos \theta ) \\ =\sum _{j=0}^{L-1}(A_j\cos (-\theta )-B_j\sin (-\theta ))-i(A_j\sin (-\theta )+B_j\cos (-\theta )) \end{gathered}$$
对比一下，可以发现$DFT(Q{)}_k$和$DFT(P{)}_{L-k}$（即$DFT(P{)}_{-k}$）共轭。
于是算出$DFT(P)$，就可以在$O(n)$时间内求出$DFT(Q)$。

显然$A(x)=\frac{P(x)+Q(x)}{2}$，$B(x)=-i\frac{P(x)-Q(x)}{2}$
于是就可以求出$DFT(A)$和$DFT(B)$，进而求出$DFT(A\ast B)$，然后$IDFT$回去。
这样就将$DFT$从调用三次优化到调用两次了。

最后

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